Para [math] (32) [/ math], lo que está describiendo se llama Teorema Multinomial. La expresión es [matemáticas] (a + b + c) ^ 4 [/ matemáticas]. En su expansión, el término [matemáticas] a ^ {\ alpha} b ^ {\ beta} c ^ {\ gamma} [/ matemáticas] se hace seleccionando [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas] [matemáticas] a [/ matemática], [matemática] \ beta [/ matemática] [matemática] b [/ matemática] y [matemática] \ gamma [/ matemática] [matemática] c [/ matemática] fuera de [matemática] 4 [/ math] factores, y cada uno de los [math] a [/ math] ‘, [math] b [/ math]’ y [math] c [/ math] ‘deben provenir de diferentes factores. Además, debe ser que [math] 0 \ leq \ alpha, \ beta, \ gamma \ leq 4 [/ math] y [math] \ alpha + \ beta + \ gamma = 4 [/ math]. El número de dichos términos en la expansión debe ser el número total de posibles arreglos de [math] \ alpha [/ math] [math] a [/ math] ‘s, [math] \ beta [/ math] [math] b [/ math] ‘y [math] \ gamma [/ math] [math] c [/ math]’ s, que es dado por [math] \ dfrac {4!} {(\ alpha!) (\ beta! ) (\ gamma!)} [/ math]. Por lo tanto, cuando recolecta términos similares, el coeficiente de [matemáticas] a ^ {\ alpha} b ^ {\ beta} c ^ {\ gamma} [/ matemáticas] es [matemáticas] \ dfrac {4!} {(\ Alpha !) (\ beta!) (\ gamma!)} [/ math]. Por lo tanto, el número de términos cuando se han recopilado términos similares es el número de posibles descomposiciones de [math] 4 [/ math] en [math] \ alpha [/ math], [math] \ beta [/ math] y [ matemáticas] \ gamma [/ matemáticas]. La configuración [matemática] \ alpha = 0 [/ matemática] le da a [matemática] 5 [/ matemática] opciones para [matemática] \ beta [/ matemática] y [matemática] \ gamma [/ matemática] (de [matemática] \ beta = 0 [/ matemática] a [matemática] \ beta = 4 [/ matemática]). Del mismo modo, establecer [math] \ alpha = 1 [/ math] nos da [math] 4 [/ math] opciones para [math] \ beta [/ math] y [math] \ gamma [/ math], y así sucesivamente. Por lo tanto, el número total de términos similares es [matemática] 5 + 4 + \ cdots + 1 = 15 [/ matemática].
El segundo es bastante simple: el truco consiste en reconocer que las tres piezas triangulares formadas al cortar el pastel tienen las mismas altitudes y áreas.