¿Por qué es [matemáticas] e [/ matemáticas] tan importante en matemáticas?

Answer 1

[math] e [/ math] tiene algunas propiedades que lo convierten en la base preferida para logaritmos y exponenciales.

La primera vez que la mayoría de la gente ve [matemáticas] e [/ matemáticas] es cuando se les muestra un interés compuesto continuo. Si su banco le otorga un interés simple del 100% de interés al año (buen banco o mala inflación), su $ 1 después de un año sería $ 2. Compuesto dos veces al año obtienes 100/2 = 50% después de medio año, o $ 1.50, y luego otro 50%, o [matemáticas] 1.5 ^ 2 [/ matemáticas] = $ 2.25 después de un año. Compuesto 12 veces al año, obtienes (100/12)% de interés cada mes, por lo que después de un año tendrías [matemáticas] (1 + 1/12) ^ {12} = [/ matemáticas] $ 2.61 después de un año.

En general, la capitalización [matemática] n [/ matemática] veces al año da [matemática] (1 + 1 / n) ^ n. [/ Matemática] Para [matemática] n = 1,000,000 [/ matemática] obtenemos [matemática] ( 1 + 1 / n) ^ n = 2.71828 … [/ math] Puedes ver a dónde va esto; cuando componemos continuamente, [math] n \ to \ infty, [/ math] obtenemos [math] (1 + 1 / n) ^ n = e. [/ math] Si tuviéramos un banco menos generoso, donde el interés la tasa es [matemática] x [/ matemática], luego de un año obtenemos [matemática] e ^ x = \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + x / n) ^ n. [/ matemática]

OK, capitalización continua, ¿a quién le importa? Por lo general, en este punto, el escritor diría que [math] e [/ math] tiene un lugar especial porque aparece cuando se pregunta qué función es su propia derivada. Dada la ecuación diferencial [matemática] f ‘= f [/ matemática] la solución es [matemática] f (x) = ce ^ x. [/ Matemática]

Quizás todavía no haya estudiado ecuaciones diferenciales en general, así que simplifiquemos un poco y preguntemos qué valor de [matemática] a [/ matemática] satisface

[matemáticas] \ dfrac {d (a ^ x)} {dx} = a ^ x [/ matemáticas]

Solo hay uno, y eso es, por supuesto, [matemáticas] a = e. [/ Matemáticas]

Incluso si aún no obtiene derivados, aún puede tener la oportunidad de usar la aproximación para [math] | x | \ ll 1 [/ math]

[matemáticas] e ^ x \ aprox 1 + x [/ matemáticas]

Nuevamente, [math] e [/ math] es el único número donde obtienes un coeficiente 1 en [math] x. [/ Math]

Todas estas cosas hacen que [math] e [/ math] sea la base preferida (la palabra que se usa generalmente es “natural”) para exponenciales y logaritmos.

Luego está la fórmula de Euler,

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]

Las unidades de [math] \ theta [/ math] son ​​radianes, que son esencialmente sin unidades, correspondientes al 1 en la aproximación anterior.

Answer 2

Pregunta original: ¿Por qué es tan importante e en matemáticas?

No estoy seguro de que sea “tan importante”, pero es una cita útil. La constante e, y la función exponencial [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] tienen algunas propiedades bastante agradables. Aquí hay una propiedad de la función [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]. ¡Su derivada es igual a sí misma, y ​​[matemáticas] \ frac {d} {dx} e ^ {mx} = me ^ {mx} [/ matemáticas]! También está relacionado con las funciones seno y coseno: [matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]. Esto lo hace útil para resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales y describir coordenadas polares.

Pero hay más. Como [math] e = lim_ {x \ rightarrow \ infty} (1 + \ frac {1} {x}) ^ x [/ math], resulta que e es también la base que necesitamos para evaluar el interés compuesto continuamente.

Answer 3

Antes de comenzar vamos a escribir e por un momento. Esto será importante más tarde, lo juro.

[matemática] e \ aprox 2.7182818284590452353602874 [/ matemática]

Entonces la gente encuentra problemática porque no está bien definida por la geometría. Lo mejor que podemos hacer es esto.

Pero esto es algo difícil de explicar a las personas, ya que uno de los ejes es imaginario y hay un poco de trigonometría involucrada. Simplemente no parece realmente genial de esta manera. [math] \ pi [/ math] o la proporción áurea tienen diagramas elegantes, por lo que creemos que son súper útiles y todo. e es al crecimiento como pi es a los círculos.

Entonces, para comenzar con lo que realmente es, digamos que tiene 1 dólar. Sus bancos le ofrecen 100% de interés / año. Después de un año tiene [matemáticas] 1 \ veces (1 + 1) [/ matemáticas]. Esa es la cantidad inicial multiplicada por el interés numérico escalado de uno agregado a 1. Por ejemplo, si desea calcular el dinero que tendrá después de aplicar un interés del 50% a 1.50 dólares, la fórmula sería [matemática] 1.5 \ veces (1 + .5) [/ matemáticas] que nos da 2.25. Cualquiera que sea por el 100% de interés / año terminará con 2 dólares después del primer año. Dulce.

Ahora supongamos que su banco le ofrece un 50% de interés / 6 meses. Después de los primeros 6 meses tiene [matemáticas] 1 \ veces (1 + .5) = 1.50 [/ matemáticas] después de los segundos seis meses tiene [matemáticas] 1.50 [/ matemáticas] [matemáticas] \ veces (1 + .5 ) [/ math] Tenga en cuenta que la cantidad inicial para la segunda mitad del año que el interés se aplica a los cambios. Pero debido a que el interés sigue siendo el mismo, es por eso o el factor por el que multiplica su cantidad inicial con la parte [matemática] (1 + .5) [/ matemática] de la fórmula permanece igual. Terminas con 2.25 al final del año. Lo cual es mejor que los 2 dólares que hubiera tenido si eligiera el 100% de interés / año.

Quisiera agradecer a @Ori James por señalarme el problema en mi pseudo fórmula.

Entonces, ¿qué pasa si el banco le ofrece un 25% de interés / 4 meses? Podemos simplificar la pseudo-fórmula allá arriba, con aritmética trivial :), para

[matemáticas] \ text {suma original} \ veces (1+ \ frac {1} {n}) ^ n = \ text {money} [/ math]

donde n es el número de divisiones sobre las que se realiza el interés inicial del 100%. Entonces, si el interés se aplicara por día, [matemáticas] n [/ matemáticas] sería 365. Y obtendríamos 2.71 dólares después de un año.

Jacob Bernoulli quería saber qué sucede cuando n se vuelve muy grande. Lo que significa que el interés se paga durante períodos de tiempo cada vez más pequeños. A medida que [math] n [/ math] se acerca al infinito, adivinaste que terminas con dinero cada vez más cerca de [math] 2.71828182845… [/ math].

Entonces bam.

Ahora, aparecen otros lugares interesantes e. Uno de mis favoritos son los trastornos. Es decir, algo que querrías para que el secreto de santa funcione. Donde cada objeto no coincide con otros objetos. Voy a usar la exploración de Wikipedia porque hace un trabajo fantástico.

Otra aplicación de e, también descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, está en el problema de los trastornos, también conocido como el problema de la verificación del sombrero : n invitados son invitados a una fiesta, y en la puerta cada invitado revisa su sombrero con el mayordomo que luego los coloca en nboxes, cada uno etiquetado con el nombre de un invitado. Pero el mayordomo no conoce las identidades de los invitados, por lo que coloca los sombreros en cajas seleccionadas al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros se coloque en la casilla correcta. La respuesta es:

[matemáticas] {\ displaystyle p_ {n} = 1 – {\ frac {1} {1!}} + {\ frac {1} {2!}} – {\ frac {1} {3!}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!} }.}[/matemáticas]

Como el número n de invitados tiende al infinito, pn se acerca a 1 / e . Además, el número de formas en que los sombreros se pueden colocar en las cajas para que ninguno de los sombreros esté en el cuadro correcto se redondea al entero más cercano, por cada n positivo.

Fuente: Wikipedia.

Answer 4

Creo que es parcialmente porque la función exponencial, [matemáticas] y = [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ t [/ matemáticas], es su propia derivada. Otra forma de decir esto en términos de álgebra lineal es que [math] e ^ t [/ math] es un vector propio del operador diferencial, [math] d / [/ math] [math] dt [/ math], en el espacio vectorial de funciones suaves. Básicamente, diferenciar [matemáticas] e ^ {kt} [/ matemáticas] equivale a escalar multiplicándolo.

Por lo tanto, tiene sentido que la función exponencial se encuentre en la solución de la ecuación diferencial [matemáticas] y ‘(t) = ky (t) [/ matemáticas], que modela el interés compuesto. La tasa de interés en cada momento depende de sus ahorros actuales. De manera similar, la derivada de la función exponencial en un momento [math] t_0 [/ math] depende del valor de la función en [math] t_0 [/ math].

Como [math] exp (t) [/ math] tiene esta buena propiedad (siendo el vector propio de [math] d / [/ math] [math] dt [/ math], por lo tanto, es proporcional a su derivada), aparece mucho en ecuaciones diferenciales y en el estudio del cambio en general.

Answer 5

Hola. Gracias por la pregunta

En mi humilde opinión, la importancia del número e reside en que es útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden. Especialmente los homogéneos.

Este hecho abrió la solución de muchos problemas dinámicos, especialmente en física newtoniana y en electromagnetismo. Esto fue parte de la revolución de la ciencia en los siglos XVIII y XIX.

Sin e, las soluciones a estos problemas serían más difíciles de encontrar y más largas de escribir.

Answer 6

Hay algunos números que no son enteros ni fracciones, ni siquiera algebraicos, sino que “salen” del trabajo matemático en todas partes: e es el más común de estos.

A diferencia de Pi, e no es algo que depende de la geometría o la física, surge de las matemáticas puras. Los ejemplos ya han sido dados por otros.

La ocurrencia más alucinante (es decir, interesante) está en la ecuación

Qué lindo es esto;)

También puede encontrar esto interesante: e y pi

Answer 7

La clave son los logaritmos naturales.

Primero presentamos los conceptos de logaritmos con cualquier base. Los logaritmos son funciones inversas de exponenciación.

Entonces define

[matemáticas] \ displaystyle E_2 (x) = 2 ^ x [/ matemáticas]

La notación [matemáticas] E_2 [/ matemáticas], que no es estándar, enfatiza que esta es una función exponencial y que la base es 2

Es bastante fácil ver que esta función está definida y aumenta para todos los valores racionales de x. Esto es suficiente para forzarlo a ser continuo (prueba no dada aquí). Como la función está aumentando, tiene un inverso [math] \ log_2 [/ math], definido en el rango de [math] E_2 [/ math]

[matemáticas] \ log_2 (E_2 (x)) = x [/ matemáticas]

y también

[matemáticas] E_2 (\ log_2 (x)) = x [/ matemáticas]

Podemos hacer lo mismo para la base 10 para obtener el llamado logaritmo común .

Una consideración importante en el mundo digital es que

[matemáticas] \ displaystyle 2 ^ {10} = 1.024 \ veces 10 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2 ^ {20} = 1.048 \ veces 10 ^ 6 [/ matemáticas]

Introducimos el logaritmo natural indirectamente como la siguiente integral definida:

[matemáticas] \ displaystyle \ ln {x} = \ int_ {u = 1} ^ {x} \ frac {du} {u} [/ matemáticas]

El cálculo simple muestra que [math] \ ln {x} [/ math] definido de esta manera tiene todas las características de un logaritmo en una base u otra:

[matemáticas] \ ln {1} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (x_1x_2) = \ ln {x_1} + \ ln {x_2} [/ matemáticas]

A continuación, el cálculo muestra que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} (\ ln {x}) = \ frac {1} {u} [/ matemáticas]

Este estilo de logaritmos es natural porque la base surge de forma natural. Todavía no sabemos qué es, pero podemos averiguarlo.

Dado que la función de logaritmo natural [math] \ ln {x} [/ math] es una función continua que aumenta estrictamente, tiene una inversa, que llamamos [math] \ exp {x} [/ math] definida para todos [math] x [/ math] en el rango de [math] \ ln {x} [/ math].

Ahora supongamos que

[matemáticas] x = \ ln {y} [/ matemáticas]

y por lo tanto

[matemáticas] y = \ exp {x} [/ matemáticas]

Entonces el teorema de la función inversa del cálculo dice que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {\ frac {dx} {dy}} = \ frac {1} {\ frac {1} {y}} = y = \ exp {x} [/ matemáticas]

En otras palabras, [math] \ exp ‘(x) = \ exp (x) [/ math]. Esta propiedad, junto con la condición inicial [math] \ exp (0) = 1 [/ math], define de forma exclusiva [math] \ exp (x) [/ math].

Para obtener e, simplemente definimos

[matemáticas] \ displaystyle e = \ exp (1) [/ matemáticas].

Answer 8

La constante ‘e’ de Euler es el lenguaje natural del crecimiento. Es la pendiente del crecimiento natural. Generalmente se ve en la naturaleza como un valor para el crecimiento constante.

Suponga que tiene $ 1 y lo deposita en un banco que le da el 100% de interés compuesto en depósito. ¿Qué sucede que el banco calcula el interés cada instante y cada momento? De esto se trata ‘e’. ‘e’ explica el crecimiento del 100% en cada instante.

Podemos derivar ‘e’ con la idea de límites,

lim (n → ∞) ⁡ (1 + 1 / n) ^ n = e

e es el valor que (1 + 1 / n) ^ n se acerca a medida que n se acerca al infinito.

Encontramos que el valor de e es aproximadamente 2.71828.

También podemos encontrar el valor de e de la siguiente manera,

e = 1 + 1/1! +1/2! +1/3! +1/4! … ..

La pendiente de e ^ x es e ^ x. El área bajo la curva de e ^ x es e ^ x. Es una propiedad muy sorprendente que muestra e. Esto hace una parte muy importante del cálculo y análisis complejo,

La identidad de Euler, la ecuación más hermosa en matemáticas combina las tres constantes sorprendentes en las matemáticas.

Answer 9

Nunca es un número aleatorio:

e – el símbolo de Internet por Trevor Cheung en Math Made Interesting

Una nueva forma de pensar la fórmula de Euler por Trevor Cheung en Math Made Interesting (esto está fuera de tema)

La respuesta de Trevor Cheung a ¿Qué aplicaciones hay para el número e de Euler, además de los intereses?

La respuesta de Trevor Cheung a ¿Cuáles son las aplicaciones de la vida real del número de Euler?

Probar que [matemáticas] \ frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x [/ matemáticas]?

Y así.

Encontrarás lo fascinante que es este tipo.

Answer 10

e es una constante matemática importante. Es un número irracional, lo que significa que no se puede escribir como una fracción. e es aproximadamente 2.718 …

e es muy importante en matemáticas. Puede encontrar e cuando hace cálculos. Al dibujar una gráfica de y = e ^ x. La pendiente de la función es la misma que y. Aparece cuando considera la diferenciación y la integración.

No estoy seguro si has oído hablar del problema de barajar pero la respuesta al problema es 1 / e. Si tiene 1000 boletos y los baraja y los coloca en orden. La probabilidad de que ninguno de los boletos esté en el lugar correcto. Con esto quiero decir que la tarjeta número 1 está en primer lugar. La respuesta a esto es 1 / e.

e es una constante matemática que se usa en el crecimiento. La mayoría de las personas se encuentran con e cuando aprenden sobre el interés. Supongamos que recibe £ 1 al 100% anual. Después de un año tendrías £ 2. Ahora supongamos que se le ofrece un interés del 50% por cada 6 meses. Recibirías £ 2.25 después de un año. ¿Qué pasa si le ofrecen un interés del 100/365%? ¿Qué obtendrías? Bueno, obtendrías alrededor de £ 2.71 … Como puede ver, este número está cerca de e.

Con suerte, esto explica por qué e es tan importante en matemáticas.