Los cuaterniones son un álgebra de división pero no un campo. En un álgebra de división, un elemento (p. Ej. [Matemáticas] -1 [/ matemáticas]) puede tener más de dos raíces cuadradas. En los cuaterniones,
[matemáticas] i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 [/ matemáticas].
El significado de “[math] \ sqrt {x} [/ math]” depende un poco del contexto. Si [math] x [/ math] es un número real positivo, generalmente queremos decir “de las dos raíces cuadradas reales de [matemáticas] x [/ matemáticas], el positivo “. Por ejemplo,
[matemáticas] \ sqrt {4} = 2 [/ matemáticas].
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Pero a veces queremos decir “cualquier raíz cuadrada posible de [matemáticas] x [/ matemáticas]”. Por ejemplo,
[matemáticas] \ sqrt {4} = \ pm 2 [/ matemáticas].
Dado que la interpretación anterior de la expresión simbólica “[matemáticas] \ sqrt {x} [/ matemáticas]” no es un concepto especialmente útil en la generalidad de las álgebras de división, tomemos la última. Con esta interpretación, entonces, lo siguiente es verdadero en el campo de los números complejos:
[matemáticas] \ sqrt {-1} = \ pm i [/ matemáticas].
Y lo siguiente es cierto en la división álgebra de cuaterniones:
[math] \ sqrt {-1} = \ pm i, \ pm j, \ pm k [/ math].