¿Qué expresión se puede usar para igualar [matemática] j [/ matemática], como [matemática] \ sqrt {-1} [/ matemática] es igual a [matemática] i [/ matemática]? Donde [math] j [/ math] es una unidad de cuaternión

Los cuaterniones son un álgebra de división pero no un campo. En un álgebra de división, un elemento (p. Ej. [Matemáticas] -1 [/ matemáticas]) puede tener más de dos raíces cuadradas. En los cuaterniones,

[matemáticas] i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 [/ matemáticas].

El significado de “[math] \ sqrt {x} [/ math]” depende un poco del contexto. Si [math] x [/ math] es un número real positivo, generalmente queremos decir “de las dos raíces cuadradas reales de [matemáticas] x [/ matemáticas], el positivo “. Por ejemplo,

[matemáticas] \ sqrt {4} = 2 [/ matemáticas].

Pero a veces queremos decir “cualquier raíz cuadrada posible de [matemáticas] x [/ matemáticas]”. Por ejemplo,

[matemáticas] \ sqrt {4} = \ pm 2 [/ matemáticas].

Dado que la interpretación anterior de la expresión simbólica “[matemáticas] \ sqrt {x} [/ matemáticas]” no es un concepto especialmente útil en la generalidad de las álgebras de división, tomemos la última. Con esta interpretación, entonces, lo siguiente es verdadero en el campo de los números complejos:

[matemáticas] \ sqrt {-1} = \ pm i [/ matemáticas].

Y lo siguiente es cierto en la división álgebra de cuaterniones:

[math] \ sqrt {-1} = \ pm i, \ pm j, \ pm k [/ math].

No estoy completamente seguro de lo que estás preguntando. No es como en matemáticas, pasamos por el alfabeto y decidimos un número para cada letra.

Cualquier expresión puede ser igual a j si la define como igual a j.

Sin embargo, por convención, en ciertos contextos, tendemos a usar letras particulares para valores o ideas particulares.

Puedo pensar en dos convenciones para j.

Uno es cuartones donde:

i * i = -1, j * j = -1, j * k = -i y j * i = k (hay dieciséis relaciones multiplicativas entre 1, i, j, k en total).

Quaternion – Wikipedia

Otro sería los vectores base estándar i , j , k .

Base estándar – Wikipedia

Verá que ese artículo usa i solo como índice, sin tener en cuenta la raíz del negativo.

Tu pregunta es confusa.