El “producto regularizado” no es simplemente el producto de todos los números primos, y la notación [math] \ Pi_ {p} p [/ math] es, por lo tanto, incorrecta (o al menos engañosa, ya que se ve como el símbolo de ordinario productos).
La definición de “producto regularizado” utilizada aquí es la siguiente. Dada una secuencia de números [math] \ mathbf {a} = a_1, a_2, a_3, \ ldots [/ math] definimos que su función zeta es
[math] \ zeta _ {\ mathbf {a}} (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n ^ {- s} [/ math].
Esta es una generalización natural de la definición de la función zeta “ordinaria” (Riemann) [matemática] \ zeta (s) = \ zeta _ {\ mathbb {N}} (s) [/ matemática]. Ahora definimos el “producto regularizado” [matemáticas] R (a_1, a_2, a_3, \ ldots) [/ matemáticas] de esos números de la siguiente manera:
- Encuentra los cuatro números en el conjunto [matemática] \ {22,29,33,37,44,52,59,63,75,85 \} [/ matemática] cuyo producto es [matemática] 1,392,754 [/ matemática]?
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[math] R (\ mathbf {a}) = \ exp (- \ zeta _ {\ mathbf {a}} ‘(0)) [/ math].
Para que esto tenga sentido, debe encontrar una manera de extender realmente la función [math] \ zeta _ {\ mathbf {a}} [/ math] hasta un vecindario de [math] s = 0 [/ math], lo cual no es para nada trivial.
La lógica detrás de esta definición es la siguiente: si tiene un producto finito
[matemáticas] \ prod_ {i = 1} ^ n a_i = a_1 \ cdot a_2 \ cdot \ ldots \ cdot a_n [/ math]
Puedes calcular su logaritmo de la siguiente manera:
[matemáticas] \ log \ prod_ {i = 1} ^ n a_i = \ sum_ {i = 1} ^ n \ log (a_i) = \ left [- \ frac {d} {ds} \ sum_ {i = 1} ^ n a_n ^ {- s} \ right] (0) = – \ zeta _ {\ mathbf {a}} ‘(0) [/ math]
Esta definición del operador de producto regularizado [matemática] R [/ matemática] es potencialmente una forma útil de estudiar secuencias infinitas de enteros, pero llamarlo “un producto” es muy engañoso, porque hace que algunas personas piensen que esto es lo que usted “Realmente obtener” si “multiplica todos los números primos”. No lo es, al igual que no “obtienes” [matemáticas] – \ frac {1} {12} [/ matemáticas] si “agregas todos los enteros positivos”.
Según esta definición de producto regularizado, por ejemplo, el producto regularizado de todos los números naturales es [math] \ sqrt {2 \ pi} [/ math]. Este es un cálculo completamente estándar de la derivada de las funciones zeta de Riemann en [math] s = 0 [/ math]. Algunas personas se sienten tentadas a escribir esto fantasiosamente
[matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces 3 \ veces 4 \ veces \ ldots = \ sqrt {2 \ pi} [/ matemáticas]
pero esto es realmente solo cebo de clic matemático. Parece intrigante, pero una vez que elimina la representación engañosa y profundiza en las fórmulas reales, el 99% de su audiencia se ha ido y el 1% restante comprende lo que dice y que no hay magia profunda involucrada.
Su pregunta es sobre la secuencia de primos [math] \ mathbf {p} = p_1, p_2, p_3, \ ldots [/ math]. No estoy seguro de que la función zeta correspondiente [math] \ zeta _ {\ mathbf {p}} [/ math] incluso se extienda a [math] s = 0 [/ math], pero aparentemente es posible adjuntar un valor a esta derivada en [math] s = 0 [/ math] y el resultado es [math] 4 \ pi ^ 2 [/ math], por lo que sea que valga la pena. Este artículo de Muñoz-García y Pérez-Marco realiza este cálculo de dos maneras, ninguna de las cuales es rigurosa.