Si la media geométrica de [matemáticas] \ log_ {2} 17, \ log_ {8} 17, \ log_ {512} 17 [/ matemáticas] es [matemáticas] \ log_ {k} 17 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] k [/ matemáticas]?

Answer 1

Usted * podría * hacer esto con una calculadora. Pero no necesita uno si conoce las propiedades de registro.

[math] \ log_k (17) = \ sqrt [3] {\ log_2 (17) * \ log_8 (17) * \ log_ {512} (17)} [/ math]

Obtenga una base común mediante el uso de la fórmula de cambio de base. Usemos ln para hacer las cosas bien.

[matemáticas] \ frac {\ ln 17} {\ ln k} = \ sqrt [3] {\ frac {\ ln 17} {\ ln 2} * \ frac {\ ln 17} {\ ln 8} * \ frac {\ ln 17} {\ ln 512}} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ ln 17} {\ ln k} = \ sqrt [3] {\ frac {(\ ln 17) ^ 3} {(\ ln 2) (\ ln 8) (\ ln 512)} }[/matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ ln 17} {\ ln k} = \ frac {\ sqrt [3] {(\ ln 17) ^ 3}} {\ sqrt [3] {(\ ln 2) (\ ln 8 ) (\ ln 512)}} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ ln 17} {\ ln k} = \ frac {\ ln 17} {\ sqrt [3] {(\ ln 2) (\ ln 8) (\ ln 512)}} [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ frac {1} {\ ln k} = \ frac {1} {\ sqrt [3] {(\ ln 2) (\ ln 8) (\ ln 512)}} [/ matemáticas]

Multiplicación cruzada:

[matemáticas] \ ln k = \ sqrt [3] {(\ ln 2) (\ ln 8) (\ ln 512)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln k = \ sqrt [3] {(\ ln 2) (\ ln (2 ^ 3)) (\ ln (2 ^ 9))} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln k = \ sqrt [3] {(27) (\ ln 2) (\ ln 2) (\ ln 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln k = 3 \ sqrt [3] {(\ ln 2) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln k = 3 \ ln 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln k = \ ln (2 ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln k = \ ln (8) [/ matemáticas]

[matemáticas] k = 8 [/ matemáticas]