Cómo probar lo siguiente: Para cualquier [matemática] x \ en \ mathbb R \ text {y} \ epsilon> 0 [/ matemática], existe [matemática] M, N \ in \ mathbb Z [/ matemática] con [ matemática] M \ ne 0 [/ matemática] tal que [matemática] | Mx-N | <\ epsilon [/ matemática]

Answer 1

Como lo señaló User-11908059531991798004, este es el teorema de aproximación de Dirichlet. Vamos a demostrarlo

Definamos

[matemáticas] f: \ mathbb R \ rightarrow [0,1), \ forall x \ in \ mathbb R, f (x) = y \ Leftrightarrow \ existe X \ in Z, x = X + y [/ math]

Ahora tengamos

[matemáticas] g: \ mathbb R \ rightarrow \ mathbb Z, \ forall x \ in \ mathbb R, g (x) = y \ Leftrightarrow \ existe r \ in [0,1), x = y + r [/ math ]

Tenemos [math] \ forall x \ in \ mathbb R, x = f (x) + g (x) [/ math]

Tengamos [math] \ lambda = \ frac {1} {\ epsilon} [/ math]

Si [math] \ existe n \ in \ mathbb N, 0 \ le f (nx) \ lt \ frac {1} {g (\ lambda) +1} [/ math]

[matemáticas] 0 \ le nx – g (nx) \ lt \ frac {1} {g (\ lambda) + 1} \ lt \ frac {1} {\ lambda} [/ math]

[matemáticas] 0 \ le nx – g (nx) \ lt \ epsilon [/ matemáticas]

[matemáticas] \ izquierda | nx – g (nx) \ right | \ le \ epsilon [/ math]

así que con [matemáticas] M = n [/ matemáticas] y [matemáticas] N = g (nx) [/ matemáticas], [matemáticas] \ izquierda | Mx – N \ derecha | \ le \ epsilon [/ math]

De lo contrario, si [math] \ existe n \ in \ mathbb N, \ frac {g (\ lambda)} {g (\ lambda) +1} \ le f (nx) \ lt 1 [/ math]

[matemáticas] – \ frac {1} {g (\ lambda) +1} \ le nx – g (nx) -1 \ lt 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ izquierda | nx – g (nx) – 1 \ derecha | \ le \ frac {1} {g (\ lambda) +1} \ le \ frac {1} {\ lambda} [/ math]

[matemáticas] \ izquierda | nx -g (nx) -1 \ right | \ le \ epsilon [/ math]

entonces con [matemática] M = n [/ matemática] y [matemática] N = g (nx) +1 [/ matemática], [matemática] \ izquierda | Mx – N \ derecha | \ lt \ epsilon [/ math]

De lo contrario, ya que hay un número finito de intervalos definidos por [matemáticas] k \ en [2, g (\ lambda)) \ cap \ mathbb N, [\ frac {k-1} {g (\ lambda) +1} , \ frac {k} {g (\ lambda) +1}) [/ math] y [math] \ mathbb N [/ math] es infinito, podemos escribir que

[matemáticas] \ existe k \ en [2, g (\ lambda)) \ cap \ mathbb N, (m, n) \ in \ mathbb N \ times \ mathbb N, m \ lt n, [/ math]

[matemáticas] \ frac {k-1} {g (\ lambda) +1} \ le f (mx) \ lt \ frac {k} {g (\ lambda) + 1} \ land \ frac {k-1} {g (\ lambda) +1} \ le f (nx) \ lt \ frac {k} {g (\ lambda) + 1} [/ math]

[matemáticas] \ frac {k-1} {g (\ lambda) +1} \ le mx – g (mx) \ lt \ frac {k} {g (\ lambda) + 1} \ land \ frac {k- 1} {g (\ lambda) +1} \ le nx – g (nx) \ lt \ frac {k} {g (\ lambda) + 1} [/ math]

[matemáticas] \ frac {k-1} {g (\ lambda) + 1} – \ frac {k} {g (\ lambda) +1} \ lt nx – mx – g (nx) + g (mx) \ lt \ frac {k} {g (\ lambda) + 1} – \ frac {k-1} {g (\ lambda) +1} [/ math]

[matemáticas] – \ frac {1} {g (\ lambda) + 1} \ lt (nm) x – g (nx) + g (mx) \ lt \ frac {1} {g (\ lambda) + 1} [/matemáticas]

[matemáticas] \ izquierda | (nm) x – g (nx) + g (mx) \ derecha | \ lt \ frac {1} {g (\ lambda) + 1} \ lt \ frac {1} {\ lambda} [/ math]

[matemáticas] \ izquierda | (nm) x – g (nx) + g (mx) \ derecha | \ lt \ epsilon [/ math]

Entonces, con [matemáticas] M = nm [/ matemáticas] y [matemáticas] N = g (mx) – g (nx) [/ matemáticas], [matemáticas] \ izquierda | Mx – N \ derecha | \ lt \ epsilon [/ math]

Answer 2

Contrariamente a algunas respuestas antes, el problema no es el teorema de aproximación de Dirichlet, ya que [math] \ varepsilon [/ math] es un número real, no un número racional, como lo requiere el teorema de aproximación de Dirichlet.

Prueba

Suponga que para todos los enteros [matemática] M, N \ text {donde} M \ neq 0, | Mx – N | \ geq \ varepsilon \ implica (Mx – N) ^ 2 \ geq \ varepsilon ^ 2 \ implica M ^ 2x ^ 2-2MNx + N ^ 2 \ geq \ varepsilon ^ 2 \ text {resolviendo la desigualdad para} x \ text {obtenemos que} x \ geq \ frac {N \ pm \ varepsilon} {M} \ text {o} x \ leq \ frac {N \ pm \ varepsilon} {M} [/ math] los cuales son falsos ya que implican que [math] \ mathbb {R} [/ math] está acotado

Answer 3

• Si [math] x [/ math] es racional, es fácil de probar. Si [math] x [/ math] es irracional, use el hecho de que la parte fraccional de [math] Mx [/ math] es densa en [math] [0,1] [/ math]

La respuesta de Pablo Carneiro Elias a ¿Cómo puedo probar que parte fraccional de [math] nx, n \ in \ mathbb {N} [/ math] es densa en [0,1]

Answer 4

Estoy bastante seguro de que esto es equivalente a la propiedad archimediana de los números reales y la densidad de los racionales en los reales, es decir, [math] \ bar {\ mathbb {Q}} = \ mathbb {R} [/ math]. Suponiendo que [math] M, N \ in \ mathbb {Z} [/ math], ya se ha observado si permitimos [math] M [/ math] [math] = 0 [/ math], entonces la solución es trivial .

Si agregamos la restricción de que [math] M \ neq 0 [/ math] entonces podemos reescribir la desigualdad como [math] | x – \ frac {N} {M} | <\ epsilon / [/ math] [math] | M | [/ math]. Dado que esto es válido para cualquier [math] \ epsilon [/ math] podemos reescribir esto como [math] | xq | <\ epsilon [/ math] donde [math] x \ in \ mathbb {R}, \ q \ in \ mathbb {Q} [/ math]. Esto es precisamente equivalente a la densidad de los racionales en los reales. (Hay muchas pruebas en línea de este hecho y muchas construcciones diferentes de los reales basadas en esta idea)

Answer 5

Este problema no es tan fácil como algunas de las respuestas parecen indicar. Vea mi comentario sobre la prueba de Fernando Jackson. La densidad de los racionales en los reales no es suficiente para probar el problema porque si usó una “demasiado grande” de una M, no puede obtener menos de epsilon.

He estado intentando usar fracciones continuas para probar esto, pero las cosas se han vuelto muy complicadas. Diré que el uso de fracciones continuas le dará rápidamente una M y una N que funcionan para una x dada y épsilon, pero mi prueba no funciona tan bien como esperaba.

Answer 6

Pregunta original: ¿Cómo demuestro lo siguiente? Para cualquier [math] x \ in \ mathbb R \ text {y} \ epsilon> 0 [/ math] , existe [math] M, N \ in \ mathbb Z [/ matemática] tal que [matemática] | Mx-N | <\ epsilon [/ matemática] ?

Siento que falta algo en la hipótesis. En particular, podemos dejar que [math] M = N = 0 [/ math], en cuyo caso, para cualquier [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ epsilon> 0 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] | Mx-N | = 0 <\ epsilon [/ matemáticas].

Answer 7

R -> reales? Que es z No funciona, porque x puede ser cero.