El término constante significa [matemáticas] x ^ 0 [/ matemáticas] en expansión. Entonces necesitamos encontrar un término con [math] x ^ 0. [/ Math]
De las características de expansión podemos escribir
[matemáticas] \ dfrac {6!} {a! × b!} × (3x ^ 2) ^ a × (\ dfrac {2} {x}) ^ b [/ math]
Puede pensar cuáles son las características de la expansión binomial 😀
- Cómo probar lo siguiente: Para cualquier [matemática] x \ en \ mathbb R \ text {y} \ epsilon> 0 [/ matemática], existe [matemática] M, N \ in \ mathbb Z [/ matemática] con [ matemática] M \ ne 0 [/ matemática] tal que [matemática] | Mx-N | <\ epsilon [/ matemática]
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Entonces las condiciones para este problema son:
- La suma de [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] debe ser igual a [matemáticas] 6 [/ matemáticas] ( el poder)
- La suma de [matemáticas] 2a y -b [/ matemáticas] debe ser igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. ¿Puedes adivinar? ¿por qué? Es sencillo. Simplemente multiplique el poder de [matemáticas] x [/ matemáticas] con [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Se verá como [matemáticas] 3 ^ a (x) ^ {2a} × 2 ^ b (x) ^ {- b}. [/ Matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]
Así que ya sabes, tiene que ser [matemáticas] x ^ 0 [/ matemáticas] para obtener un término constante.
Así que hagamos ecuaciones siguiendo las condiciones que he mencionado anteriormente.
[matemática] a + b = 6 [/mathfont>…….……[math] (i) [/ math]
[matemáticas] 2a-b = 0 [/ matemáticas] ……….… [matemáticas] (ii) [/ matemáticas]
Al resolver [matemáticas] (i) [/ matemáticas] y [matemáticas] (ii) [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 4 [/ matemáticas]
Ahora conectando [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {6!} {2! × 4!} × (3x ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] × [/ matemáticas] [matemáticas] (\ dfrac {2} {x}) ^ 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {6!} {2! × 4!} × 3 ^ 2 × 2 ^ 4 [/ matemática] [matemática] [x [/ matemática] se desvanece [matemática]] [/ matemática]
[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] 2160 [/ matemáticas]
¡Lo siento! Si no puedo hacerlo comprensible.