¿Hay lugar para la imaginación y las conjeturas en matemática pura?

Answer 1

Ciertamente lo hay. No sé si tengo un historial que valga la pena mencionar en este contexto, pero nadie me dice que estoy equivocado y casi siempre imagino respuestas y luego vuelvo a las matemáticas. Por lo general, solicito una corrección porque me gustaría saber si estoy equivocado, pero la gente es sorprendentemente reservada. Debo haberme equivocado en algunas cosas. Una de las preguntas que respondí aquí fue cómo hacer un argumento válido 2 + 2 = 5. Lo hice de dos maneras, la segunda utiliza acústica, oscilación armónica. No puedo creer que sea correcto, pero nadie me dirá qué tiene de malo.

John Bell, famoso por las desigualdades que descartó en su famoso experimento, dedujo ideas sobre el mundo que luego corregiría cuando dejara de calcular el tiempo suficiente para contemplar lo suficiente.

Einstein no pudo hacer los cálculos matemáticos necesarios para la relatividad al principio, por eso tenemos espacio Minkowski. Minkowski lo resolvió. Pero Einstein tuvo la imaginación de combinar las ideas de Maxwell, Lorentz y Mach, entre otras, para crear las teorías de la relatividad. No tenía todas las matemáticas, pero tenía la imaginación.

Answer 2

Absolutamente. ¡De hecho, iría tan lejos para decir que no hay lugar para la falta de imaginación y conjeturas en matemáticas puras!

La gente tiene la impresión opuesta, y no estoy seguro de por qué. Cuando las personas leen una prueba matemática (a menudo en contra de su voluntad, pero esa es otra queja) piensan que están aprendiendo el proceso de las matemáticas, pero realmente están aprendiendo el producto terminado.

Es extraño que salieran con esa impresión. Los músicos no componen música simplemente conectando una nota después de la siguiente hasta que esté lista. Los arquitectos no solo se sientan y hacen un plano de izquierda a derecha sin volver atrás y jugar con las cosas. Los autores no se sientan y escriben un libro sin presionar la tecla de retroceso.

Pero por alguna razón, la gente piensa que así es como se hacen las matemáticas.

No es verdad. Una de las cosas que se anima a hacer a todos los matemáticos en ciernes (¿todos?) Es participar en conjeturas o exploración. Si está tratando de demostrar un teorema de la forma “para cualquier función [matemática] f [/ matemática] que satisfaga tal y tal condición, entonces [matemática] f ^ 2 [/ matemática] satisface tal y tal otra condición sorprendente “.

Si no tiene una mejor intuición de por qué esas condiciones están vinculadas, lo primero que debe hacer es escribir algunas funciones específicas y explorar. Entonces, tal vez intentes construir contraejemplos y tengas una idea de por qué sigues fallando. Entonces, tal vez agregue una hipótesis, para probar el resultado en casos específicos y más fáciles. Etc etc. Muchas conjeturas y acercamiento al problema de manera incremental.

Answer 3

Necesita imaginación para todas las nuevas matemáticas y conceptos de conexión entre diferentes ramas. Necesita imaginación para descubrir nuevas matemáticas, o crear nuevas teorías, y en general atacar problemas conceptuales muy difíciles. Pero se necesita una mente aguda y el razonamiento y la lógica para ordenar a cualquier persona muy ajena a los hechos y la imaginación espacial. Esa es la diferencia entre la creatividad artística libre y el pensamiento disciplinado. Necesita probar la intuición con el teorema y la prueba comunes, el lenguaje. Por último, necesita un buen conocimiento de las matemáticas básicas y suficiente brillantez para cohesionar milenios de aprendizaje matemático profundo.

Answer 4

Siempre es así, absolutamente. La teoría o la invención aparece primero en tu mente antes de que tengas una prueba o una pista. Tu intuición te dice que es posible pero aún te falta la prueba. La prueba siempre viene después.

Por ejemplo, observe el modelado 3D en las computadoras. ¿Te imaginas que alguien haya pensado primero en la posibilidad de representar cualquier modelo 3D mediante ecuaciones matemáticas antes de la invención de la computadora? El procedimiento de perspectiva 3D fue una historia antigua en geometría desde Leonardo DaVinci o antes. Pero, no fue representado matemáticamente a través de ecuaciones vectoriales hasta 1980. Ese fui yo quien las inventó.

Ecuaciones vectoriales en perspectiva inventadas por D. Murran

Answer 5

Hay un lugar para la imaginación en matemática pura.

Los grandes matemáticos imaginan formas de resolver grandes problemas y establecer un camino para los futuros matemáticos con una hoja de ruta, pero sin pruebas definitivas: por ejemplo, el programa Langlands – Wikipedia.

En otros casos, los matemáticos definen enunciados que creen que son verdaderos, pero no tienen pruebas de ello; se denominan conjeturas. Por ejemplo, la Conjetura de Taniyama-Shimura ha tardado unos 50 años en probarse y cambiarse de nombre a Teorema de modularidad: Wikipedia. Muy famoso, probar un sub-caso de este teorema fue crítico para la prueba del último teorema de Fermat.

Muchas conjeturas todavía están abiertas hoy Lista de conjeturas – Wikipedia. Entre los famosos se encuentra la conjetura de Goldbach que dice que cualquier número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos, ahora abierto por más de 250 años.

Answer 6

¡Hazlo en tu cabeza!

¡Comience a resolver problemas simples que involucran sumas, restas, divisiones, raíces cuadradas sin usar lápiz y papel!

Intente descubrir las posibles soluciones de un problema complicado utilizando su imaginación (puede imaginar una parábola o un montón de cono. Comprenda su estructura y sepa qué encontrar) antes de obtener la respuesta correcta en un documento.

Answer 7

Por supuesto, como en todas las ciencias. O las computadoras ya habrían encontrado y probado todo.