Obviamente, depende de para qué estás aprendiendo matemáticas y en qué destacas.
Sin embargo, parece que te estás enfocando en áreas de amplia aplicabilidad. En ese caso, diría que algunos de los siguientes pasos lógicos son:
- Cálculo / análisis multivariable : no debería dar un salto conceptual masivo para darse cuenta de cómo las funciones de más de una variable pueden ser útiles. Su experiencia en análisis y álgebra lineal será de gran ayuda aquí. Sirve como un trampolín fuerte e interesante para otras cosas, y es vital para las matemáticas aplicadas.
- Ecuaciones diferenciales : son extremadamente útiles y si, como yo, eres masista, también pueden ser divertidas
- Análisis complejo : a todo adolescente empollón de las matemáticas le encantan los números imaginarios. Son tan extraños y evasivos, y una maravillosa oportunidad para la inteligencia artificial. Sin embargo, la idea de números complejos palidece en comparación con la belleza de las funciones complejas. En el fondo hay una fascinante dualidad entre análisis y geometría. Algunos de los sorprendentes resultados del análisis complejo incluyen ‘todas las funciones complejas diferenciables son suaves’, ‘las integrales no dependen de su dominio, siempre y cuando se mantenga alejado de’ fallas técnicas ‘y’ el valor promedio de cualquier función agradable. un punto es su valor en ese punto ‘. No solo es increíblemente hermoso (las palabras no le hacen justicia), sino que ayuda a entrenarse en formas más complejas de pensamiento y es profundamente útil no solo en física, sino también, extrañamente en todas partes, desde finanzas hasta combinatoria y teoría de números. Famosamente, la hipótesis de Riemann relaciona la búsqueda de números primos con análisis complejos. En mi libro de texto incluso había un ejercicio para probar el teorema fundamental del álgebra con cálculo. En caso de que no lo hayas notado, te estaba empujando sutilmente en esta dirección
- Múltiples : aunque es muy complicado, a menudo toma unos diez minutos para unir un solo párrafo a su pensamiento intuitivo, la teoría de las variedades, especialmente las variedades diferenciables, y especialmente las variedades riemannianas, bien vale la pena. Es la forma fundamental de pensar sobre cualquier cosa reconocible como geometría (aunque admito libremente que no es el final de la historia) y finalmente podrás disfrutar de la geometría no euclidiana de cerca y personalmente. Sin embargo, no se limita a las preocupaciones geométricas: en las matemáticas surgen múltiples como una generalización de “poder hacer cálculos”; más notablemente, están en el corazón de la simetría continua. Se puede encontrar una introducción manejable a la geometría de Riemann en cualquier buen libro sobre relatividad general (que, como habrás escuchado, es interesante por derecho propio) – Spacetime And Geometry de Saun Caroll es uno de los mejores libros que he leído y me hizo querer ser profesor
¡Buen viaje!