¿Sintió que las matemáticas tenían mucho que ver con el aprendizaje de conceptos o solo había una lógica interna que ‘tenía sentido’ para usted?

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Es un poco de ambos. Por un lado, necesita conocer algunas de las herramientas y conceptos para poder hacer cualquier cosa. Por otro lado, todas esas herramientas y conceptos realmente tienen una lógica interna para ellos, y una vez que comprenda esa lógica de modo que se convierta en una parte integral de usted, puede reconstruir toda la teoría desde cero si es necesario.

Permíteme darte un ejemplo basado en una respuesta que escribí ayer: ¿Qué impide la extensión de números complejos al espacio euclidiano tridimensional?

En esta respuesta, revisé y probé que solo hay dos campos de dimensiones finitas que contienen los números reales: estos son los números reales y los números complejos.

No he pensado en esa prueba durante al menos unos años, probablemente más tiempo, en realidad. La prueba habitual probablemente implicaría primero definir el cierre algebraico, que me aparté por completo, por lo que no simplemente reescribí la cosa desde la memoria (mi memoria es en realidad bastante pobre, por lo que no podría haberlo hecho incluso Si lo intentara); ni tuve que buscar cuáles eran las pruebas o definiciones asociadas.

No tuve que hacerlo. Sabía exactamente cuáles eran los ingredientes que entraban en la prueba: álgebra lineal, división polinómica y el teorema fundamental del álgebra. Sabiendo eso, pude reconstruir toda la memoria simplemente porque sabía intuitivamente cómo todas esas piezas tenían que encajar.

Mi asesor me ha dicho a mí y a mis compatriotas compatriotas que no tiene sentido memorizar pruebas; en cambio, debe tratar de comprender el núcleo de lo que dice la prueba, y luego podrá reproducirla usted mismo. Mi consejero es un hombre sabio.

Creo que este razonamiento en realidad se extiende a todas las matemáticas. No intentes memorizar una definición, trata de entender por qué existe esa definición. Entonces, por ejemplo, si me preguntas qué es un campo, te diré que, intuitivamente, es una estructura algebraica en la que puedes hablar sobre sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, y que no importa en qué orden agrega o multiplica. Luego, teniendo esa imagen intuitiva, escribiré una lista de axiomas que describen precisamente esto. (De hecho, escribí una respuesta exactamente como esta aquí: ¿Pueden las condiciones para un espacio vectorial condensarse razonablemente para ayudar a recordar? Al final, logré definir un espacio vectorial en 5 líneas. Eso se sintió bien).

Esta es realmente la razón por la que creo que enseñar matemáticas es una ruta excelente para entenderlo mejor. Cuando enseñas, tienes que descubrir cómo destilar todo lo que sabes en sus componentes por excelencia. En el proceso, llegas a una comprensión mucho más profunda.

La otra cosa muy importante que debe hacer cuando intenta comprender la estructura fundamental de lo que está estudiando es mirar ejemplos. Si está introduciendo una definición, de manera óptima debe incluir al menos tres ejemplos: un ejemplo que satisfaga casi trivialmente su definición y sea muy fácil de verificar, un ejemplo que es una representación bastante típica del tipo de objeto que podría mirar, y Un ejemplo inteligente que puede ser inesperado o da conexiones a otros problemas.