¿Cómo podemos refutar matemáticamente una afirmación sobre la inexistencia del ángulo de un grado, hecha por alguien con tantas evidencias, donde ([matemáticas] \ pi = 180 ^ \ circ [/ matemáticas])?

Answer 1

Supongo que esto depende de si estás contento con el número real o no. Algunas posiciones extremas de la escuela de Finitismo solo funcionan con objetos matemáticos que se pueden calcular en un número finito de pasos. Esto excluye los números reales que son ciertamente bestias difíciles. Supongo que el principal defensor de esto es la trigonometría racional de Norman J. Wildberger. Esta es realmente una posición muy marginal que te deja en un callejón sin salida matemático donde no puedes usar las funciones trigonométricas, o incluso la constante [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

Casi todos los matemáticos están contentos con el número real y, por lo tanto, con todos los ángulos posibles. Luego podemos definir el ángulo de 1 ° de varias maneras, pero estas requieren un proceso limitante. Entonces podríamos decir usar la serie taylor para pecado y coseno para el ángulo [matemática] x = \ frac {\ pi} {180} [/ matemática]. y luego usa estos valores reales para definir un triángulo que tiene un ángulo de 1 °.

Si queremos limitarnos a ángulos construibles, entonces es posible construir un polígono de 60 lados que tenga un ángulo de 3 °. Para llegar a 1 ° requiere trisección de ángulo. No es posible con regla y compás, pero es posible con otras herramientas como la neusis o el origami. Por lo tanto, es un gran reclamo decir que algo no existe cuando puedo construir tal ángulo simplemente doblando un trozo de papel.

Answer 2

Sin conocer la supuesta prueba o las razones de ese reclamo, no podemos refutarlo.

Un ángulo de 1 ° existe de la misma manera que el número [math] e [/ math], o [math] \ sqrt \ pi [/ math], o [math] 4 [/ math] existe. Conceptos útiles que pueden usarse para medir o describir la realidad.

Lo que no se puede hacer es construir un ángulo de 1 ° con regla y transportador, esto es usando líneas rectas y círculos anclados. Gauß demostró que al usar el transportador y la regla, un círculo solo se puede dividir en un polígono regular de [math] n [/ math] lados si [math] n [/ math] es un Fermat prime ([math] 2 ^ {2 ^ k} +1 [/ math]), una potencia de dos, o el producto de cualquier número de primos Fermat diferentes y una potencia de dos.

Si pudiéramos construir un ángulo de 1 °, podríamos construir un polígono regular de 360 ​​lados. Pero [math] 360 = 2 ^ 83 ^ 25 [/ math] no cumple los requisitos de un polígono construible. Si bien todos los factores primos impares son primos de Fermat, [math] 3 [/ math] se usa dos veces.

Answer 3

Lo que no existe es una construcción de regla y brújula de un ángulo [matemático] 1 ^ \ circ [/ matemático]. De hecho, la mayoría de los ángulos en el transportador no son construibles.

Podemos construir el pentágono regular, ángulos [matemática] 72 ^ \ circ [/ matemática] y un triángulo equilátero, ángulos [matemática] 60 ^ \ circ. [/ Matemática] Entonces [matemática] 12 ^ \ circ [/ matemática] es fácil, y dividir dos veces nos hace [matemática] 3 ^ \ circ. [/ matemática] Donde nos atascamos es imposible trisecar el ángulo de tres grados con una regla y una brújula, como lo muestra Wantzel en 1837. (Implica la raíz de una ecuación cúbica y construcciones de regla / brújula no pueden generar raíces cúbicas para resolverlas).

Entonces, cada múltiplo de [math] 3 ^ \ circ [/ math] es construible pero ninguno cuyo resto es [math] 1 ^ \ circ [/ math] o [math] 2 ^ \ circ [/ math] cuando se divide por [math ] 3 ^ \ circ. [/ Matemáticas]

Answer 4

Es un axioma que en un plano, los ángulos en un punto suman 360 grados. Por favor, no, es un axioma. No hay nada que demostrar aquí.

Un grado es 1/360 del arco de un círculo.