Esta solución a esto se basa en el principio simple de conservación de la energía junto con las relaciones de restricción en los cuerpos.
La altura inicial de la esfera (se supone que es muy pequeña en comparación con la barra) es [matemática] L \ sin \ alpha [/ matemática].
Finalmente, cuando el ángulo es [matemática] \ beta [/ matemática], la altura de la esfera es [matemática] L \ sin \ beta [/ matemática].
Por lo tanto, la pérdida de energía potencial gravitacional viene dada por [math] m \ cdot g \ cdot L (\ sin \ alpha – \ sin \ beta) …… (1) [/ math].
La ganancia en energía cinética del sistema de barra, esfera y cubo está dada por
[matemáticas] \ left (\ frac {1} {2} \ cdot M \ cdot V ^ 2 \ right) + \ left (\ frac {1} {2} \ cdot m \ cdot v ^ 2 \ right) …… (2) [/ matemáticas]
donde [matemáticas] V [/ matemáticas] y [matemáticas] v [/ matemáticas] son las magnitudes de las velocidades de la esfera y el cubo, respectivamente.
Ahora, para las ecuaciones de restricción,
[matemática] V = L \ cdot \ omega …… (3) [/ matemática] donde [matemática] \ omega [/ matemática] es la velocidad angular de la barra.
También,
La distancia entre el centro del cubo y la bisagra en cualquier ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] viene dada por:
[matemáticas] x = \ frac {b} {2} + b \ cot \ theta [/ matemáticas].
Diferenciar esto en ambos lados nos da:
[matemáticas] v = b \ cdot (\ csc \ theta) ^ 2 \ cdot \ omega [/ math].
lo que implica que
[matemática] v = b \ cdot (\ csc \ beta) ^ 2 \ cdot \ omega …… (4) [/ matemática] cuando la barra está en ángulo [matemática] \ beta [/ matemática]
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Por lo tanto, por la conservación de la energía, tenemos [matemáticas] (1) = (2) [/ matemáticas]. Además, sustituyendo [matemáticas] (3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas] en [matemáticas] (2) [/ matemáticas], obtenemos:
[matemática] v = \ sqrt {\ frac {2mgLb ^ 2 (\ sin \ alpha – \ sin \ beta)} {mb ^ 2 + M \ sin ^ {4} \ beta}} [/ matemática].
QED