¿Qué piensan los matemáticos de los métodos numéricos?

Answer 1

Como estudiante de matemática “pura” que pasó al lado oscuro, estoy de acuerdo con las “opiniones mixtas” expresadas por algunos otros. Para un matemático puro, los métodos computacionales pueden parecer poco elegantes; para un matemático aplicado, probablemente sean negocios como siempre. Requieren cierto cuidado en la aplicación e interpretación:

• El hecho de no encontrar el yeti por métodos computacionales no es una prueba de que el yeti no existe, a menos que pueda probar que su algoritmo debe encontrar un yeti si está disponible (lo cual es atípico para los métodos computacionales).
• Si su algoritmo cuadra el círculo usando matemáticas estrictamente enteras, haga una reverencia. Si usó aritmética de coma flotante, observe el error de redondeo y truncamiento, los problemas de convergencia y la posibilidad de que la biblioteca de álgebra numérica que utilizó haya sido codificada por alguien con sentido del humor antes de enviar su trabajo para la medalla Fields.

Answer 2

Estoy de acuerdo con David Joyce: bien y necesario. Ernesto Roldán expresa su disgusto extremo y, dada mi declaración anterior, claramente no estoy de acuerdo en general, pero su punto particular es importante: los algoritmos de fuerza bruta son horribles y deben evitarse si puede encontrar (y probar) un método más elegante para abordar su problema. .

Por ejemplo, suponga que tiene un sistema hamiltoniano, para el cual deriva las ecuaciones de movimiento, pero descubre que son demasiado complicadas para resolverlas analíticamente (la mayoría de ellas lo son). Para comprender el sistema, es posible que desee encontrar aproximaciones a las soluciones, por lo que debe recurrir a un método numérico. El primer y más ingenuo enfoque es el método de Euler, que seguirá la tangente a su solución y lo dejará justo al final. Si alguna vez ha intentado modelar un péndulo simple de esta manera, verá exactamente qué hay de malo en este enfoque. Sin embargo, los sistemas hamiltonianos tienen una estructura especial, por lo que si puede construir una rutina numérica que respete esta estructura, podrá aproximar las soluciones mucho mejor: aún tendrá errores, pero la solución seguramente no será cualitativamente incorrecta de cualquier manera. Es decir que si su solución numérica comienza en una región de movimiento regular, permanecerá allí durante mucho tiempo, si no para siempre; Si comienza en un régimen caótico, permanecerá en el mismo régimen caótico.

Incluso eso es una especie de fuerza bruta, en cierto modo, aunque es una herramienta necesaria para hacer ciertos otros tipos de análisis en su sistema. Lo importante es siempre aumentar la comprensión.

Answer 3

Soy profesor de ingeniería mecánica y he enseñado métodos numéricos más de 50 veces. En el siglo XX, muchos matemáticos puros despreciarían a los matemáticos aplicados. Runge y Kutta, que idearon algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a principios de 1900, fueron rechazados por sus colegas matemáticos. Hoy en día, incluso después de 100 años, la resolución de cualquier conjunto útil de ecuaciones diferenciales necesita el uso de métodos Runge-Kutta o alguna forma de ellos.

Los métodos numéricos son parte importante de las matemáticas. El análisis numérico también requiere pruebas rigurosas y muchos de estos análisis han dado como resultado métodos numéricos aún más eficientes, como la integración de Romberg. Con los métodos de elementos finitos, la diferencia finita y los métodos de elementos límite utilizados ahora para resolver ecuaciones diferenciales en varios campos de la ciencia, la medicina, las finanzas y la ingeniería, muchos pueden tratar los métodos numéricos como una caja negra, pero está ahí y el progreso continuará en el campo debido a la computación paralela y la computación cuántica.

Answer 4

Están bien y son necesarios. Cuando no puede encontrar algo analíticamente, debe recurrir a métodos numéricos.

Son interesantes y traen preguntas importantes. La estabilidad, por ejemplo, es un problema importante en general, pero es fundamental para los métodos numéricos.

Los usan las computadoras y las calculadoras, y los humanos los usan para construir tablas de funciones antes de que se inventaran las computadoras. Es importante saber qué sucede debajo del capó.

Answer 5

¿Sabías que hay un campo llamado “matemática experimental”? La idea es que podemos descubrir nuevas leyes matemáticas probándolas numéricamente o, en otras palabras, jugando con una computadora. En cierto modo, este enfoque ha existido al menos desde que existieron los dispositivos de computación mecánica (desde el ábaco hasta la calculadora de bolsillo) y fue instrumental en el descubrimiento del número de Feigenbaum (que se descubrió con una calculadora de bolsillo), pero con el invención de computadoras digitales baratas y potentes, el campo está listo para explotar. ¿Dónde estarían las matemáticas experimentales sin métodos numéricos?

Answer 6

En general, trato de evitar los métodos numéricos. Pero hay algunos problemas que no pueden resolverse simplemente analíticamente. Los necesitamos, en general, para resolver polinomios que tienen potencias superiores a 4. Y para muchas ecuaciones diferenciales y otras cosas. No podemos descartar los métodos numéricos. Sin embargo, tenemos que tener cuidado. Algunos algoritmos son MUY sensibles a la imprecisión, y si la computadora tiene 32 bits, puede haber algún redondeo no deseado que puede convertirse en un gran error después de muchas iteraciones.

Pero cuando es tan preciso como sea necesario, es una gran herramienta, ahorra tiempo y recursos, y en ciencias aplicadas funciona bien (yo diría que es especialmente útil en estadísticas y hacer programas o juegos de simulación). ¿Sería mejor si tuviéramos la solución analítica cada vez? Por supuesto. Pero no podemos permitirnos eso.

Answer 7

Para la ecuación NS, es imposible dar una solución analítica considerando las matemáticas de hoy. Entonces, los métodos numéricos se vuelven tan importantes en la dinámica de fluidos y la meteorología dinámica. Es por eso que el modelo Gill tiene tanta importancia ya que dio una solución analítica incluso a una ecuación NS simplificada.

Answer 8

Con emoción, deleite y alegría.

Richard Hamming escribió el trabajo seminal sobre el tema “Métodos numéricos para científicos e ingenieros” que puede leer en la playa.

Answer 9

Opiniones encontradas A algunos matemáticos les gusta ser precisos. A algunos, en el lado contrario, les gustan más las aproximaciones.