Ambas son necesarias.
Por ejemplo (!), Suponga que tiene que introducir el concepto de números primos. Enumere varios números naturales, digamos [matemática] 1, 2, \ ldots, 20 [/ matemática]. Factorice cada “tanto como sea posible” (esta noción intuitiva tiene la idea de los números primos ocultos): [matemáticas] 1 = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 = 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 = 2 \ veces 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 5 = 5 [/ matemáticas], [matemáticas] 6 = 2 \ veces 3 [/ matemáticas], etc. Evidentemente, hay es algo especial acerca de [matemáticas] 1, 2, 3, 5, \ ldots [/ matemáticas]. En primer lugar, obviamente no se pueden factorizar en números “más pequeños”. En segundo lugar, y esto es quizás menos obvio, ¡aparecen en las factorizaciones de todos los demás números! Ahora, lo difícil aquí es observar que si permitimos que [math] 1 [/ math] aparezca en la factorización, no ganamos nada (porque es un factor de todos los números), y causa un problema porque puede se factorizará un número indefinido de veces (como [math] 1 \ times 1 \ times \ cdots [/ math]), que no es algo que desea cuando intenta factorizar un número “tanto como sea posible”, es decir, en tantos factores como sea posible. Entonces descartamos [math] 1 [/ math] de nuestra “lista especial”, y obtenemos el conjunto de números primos como [math] 2, 3, 5, \ ldots [/ math].
Para tomar un ejemplo más avanzado, imagine que está enseñando el concepto de una relación de equivalencia. Escriba ejemplos de relaciones binarias bien conocidas como “igual a” y “no igual a” (para números, para matrices, etc.), “menor o igual que” y “estrictamente menor que” (para números reales) , “paralelo a” y “perpendicular a” (para líneas en un plano), “similar a” y “congruente a” (para triángulos), “divide” (para enteros positivos), “subconjunto” y “subconjunto apropiado” ( para conjuntos). Ahora puede pedirle al alumno que agrupe las diferentes relaciones por “propiedades” compartidas; este paso ayuda a identificar y formalizar las propiedades de las relaciones binarias. Entonces, “igual a”, paralelo a “,” similar a “y” congruente a “se agrupan, porque son todos reflexivos, simétricos y transitivos. Por lo tanto, son ejemplos de una relación de equivalencia. Las otras relaciones sirven como contraejemplos.
Estos ejemplos muestran que generalmente es más fácil generalizar a partir de varios ejemplos familiares (y contraejemplos) a la definición abstracta de un nuevo concepto. Que es lo que hice justo ahora dando los ejemplos primero y estableciendo este punto después. Esto no solo es más fácil (en la mayoría de los casos), sino que también es necesario para enseñar la habilidad de la abstracción.
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Sin embargo, a veces es necesario definir primero el concepto y luego dar ejemplos (¡como hago ahora al decir esto primero!). Hay dos razones para esto. En primer lugar, y menos importante, hay momentos en que esto es más fácil: cuando un concepto ya se ha introducido y es familiar, es más sencillo definir un nuevo concepto estrechamente relacionado y luego ver ejemplos. En segundo lugar, y lo que es más importante, esto se requiere como un ejercicio para capacitar al alumno en la generación de ejemplos a partir de una definición abstracta; esto es complementario a la habilidad de abstracción.
Ahora, para dar un ejemplo de esto (!), Considere nuevamente la idea de las relaciones de equivalencia. Ya vimos que una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Podemos pensar inmediatamente en modificar esta definición de varias maneras para obtener otros conceptos. ¿Qué pasa si, en lugar de simetría, se requiere que la relación tenga asimetría? Entonces, para cualquiera de los dos elementos [matemática] x, y [/ matemática], si [matemática] x [/ matemática] está relacionada con [matemática] y [/ matemática], entonces [matemática] y [/ matemática] no debería estar relacionada a [matemáticas] x [/ matemáticas]. A partir de esta definición abstracta en sí, podemos ver que esta propiedad es incompatible con la reflexividad, que requiere que cada elemento esté relacionado consigo mismo. Por lo tanto, también debemos hacer que la relación sea irreflexiva. Entonces tenemos una relación asimétrica, transitiva (que es necesariamente irreflexiva). Nuevamente, a partir de esta definición abstracta, podemos ver que esto induce algún tipo de “orden” en los elementos, ya que la transitividad nos permite formar cadenas de elementos, cada elemento (en una cadena dada) relacionado con el siguiente, y la asimetría asegura que la cadena no “retrocede” sobre sí misma. Por lo tanto, tenemos el concepto de un orden estricto (parcial). No obtuvimos esto generalizando a partir de ejemplos, ¡ni siquiera tenemos ningún ejemplo todavía! Pero ahora, si miramos los ejemplos anteriores de relaciones binarias, podemos ver que hay dos que tienen estas propiedades: “estrictamente menor que” y “subconjunto apropiado”. También deberíamos poder generar más ejemplos a partir de la definición misma. La idea de la “cadena de elementos”, que es una característica de un orden estricto, sugiere una cadena de “descendientes”. De hecho, “es descendiente de” es un orden estricto (a menos que estés viviendo en este universo).