Quora User da una muy buena explicación de las matemáticas detrás de los espacios de Hilbert, pero quería centrarme un poco más en el FEM. También deberías leer la respuesta de John para profundizar un poco más en las matemáticas.
Los espacios de Hilbert (junto con el uso del teorema de representación de Riesz) son importantes para el análisis de elementos finitos porque nos permiten transformar una ecuación diferencial parcial en un producto interno de dos funciones. Esta es esencialmente la formulación débil del problema.
Si la formulación fuerte es [math] \ mathbf {f (u (x))} = 0 [/ math], entonces la formulación débil es [math] \ langle f, v \ rangle = \ int_ \ Omega fv \ \ text {d} \ Omega = 0 [/ math] y cualquier solución a la solución fuerte también será una solución a la formulación débil (no necesariamente al revés *) [también corrígeme si me equivoco aquí porque a menudo me sale esta confundido]. Los corchetes angulares [math] \ langle \ rangle [/ math] denotan un producto interno en el espacio de Hilbert en el dominio [math] \ Omega [/ math] que funciona de manera muy similar a un producto escalar en un espacio euclidiano. La función [math] v [/ math] es una función de prueba.
En muchos casos, esta forma débil también se escribe como
[matemáticas] b (u, v) = F (v) [/ matemáticas]
donde hemos separado las partes de [math] \ langle f, v \ rangle [/ math] en [math] b [/ math], la parte que depende de [math] u [/ math] y [math ] F [/ math], la parte que no lo es.
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En el método de Galerkin, primero discretizamos nuestro dominio para aproximarnos tanto a nuestra solución, [math] u [/ math] como a nuestra función de prueba [math] v [/ math] usando el mismo conjunto finito de funciones básicas (a menudo estas son polinomios por partes. En otras palabras,
[matemáticas] u_h = \ sum_ {k = 1} ^ h \ alpha_k \ psi_k [/ matemáticas]
donde [math] \ alpha_k [/ math] es un coeficiente multiplicado por una función base [math] \ psi_k [/ math] y [math] h [/ math] denota que este es un espacio de dimensión finita. Dado que tanto [math] u [/ math] como [math] v [/ math] se aproximan de la misma manera, los coeficientes se deslizan a través de las derivadas e integrales en la formulación débil y aparecen al frente (estoy resumiendo aquí pero puede leer este artículo sobre el método de elementos finitos para obtener un resumen más detallado). Si usamos polinomios por partes para nuestras funciones básicas, esto prácticamente garantiza la ortogonalidad (son cero en todas partes excepto su elemento padre y solo se definen en una dirección) y, por lo tanto, la matriz resultante (a menudo llamada matriz de rigidez) es escasa y diagonalmente dominante .
Entonces, el mensaje para llevar a casa aquí es que las matemáticas involucradas en los espacios de Hilbert (específicamente el teorema de representación de Riesz) nos permiten tomar una ecuación diferencial lineal desafiante y convertirla en un problema de álgebra lineal. He pasado por alto MUCHAS matemáticas aquí, pero espero que entiendas la idea general. Una vez más, le recomiendo que lea este resumen del método de elementos finitos para completar su comprensión.
* Si recuerdo correctamente (lo que podría no estar haciendo), si la formulación débil es simétrica y bilineal, al menos se garantiza que sus soluciones serán únicas. Incluso si el problema no es simétrico, creo que las soluciones siguen siendo únicas para problemas lineales.
EDITAR: se agregó información sobre el teorema de representación de Riesz