¿Por qué los espacios de Hilbert son importantes para el análisis de elementos finitos?

Quora User da una muy buena explicación de las matemáticas detrás de los espacios de Hilbert, pero quería centrarme un poco más en el FEM. También deberías leer la respuesta de John para profundizar un poco más en las matemáticas.

Los espacios de Hilbert (junto con el uso del teorema de representación de Riesz) son importantes para el análisis de elementos finitos porque nos permiten transformar una ecuación diferencial parcial en un producto interno de dos funciones. Esta es esencialmente la formulación débil del problema.

Si la formulación fuerte es [math] \ mathbf {f (u (x))} = 0 [/ math], entonces la formulación débil es [math] \ langle f, v \ rangle = \ int_ \ Omega fv \ \ text {d} \ Omega = 0 [/ math] y cualquier solución a la solución fuerte también será una solución a la formulación débil (no necesariamente al revés *) [también corrígeme si me equivoco aquí porque a menudo me sale esta confundido]. Los corchetes angulares [math] \ langle \ rangle [/ math] denotan un producto interno en el espacio de Hilbert en el dominio [math] \ Omega [/ math] que funciona de manera muy similar a un producto escalar en un espacio euclidiano. La función [math] v [/ math] es una función de prueba.

En muchos casos, esta forma débil también se escribe como
[matemáticas] b (u, v) = F (v) [/ matemáticas]
donde hemos separado las partes de [math] \ langle f, v \ rangle [/ math] en [math] b [/ math], la parte que depende de [math] u [/ math] y [math ] F [/ math], la parte que no lo es.

En el método de Galerkin, primero discretizamos nuestro dominio para aproximarnos tanto a nuestra solución, [math] u [/ math] como a nuestra función de prueba [math] v [/ math] usando el mismo conjunto finito de funciones básicas (a menudo estas son polinomios por partes. En otras palabras,
[matemáticas] u_h = \ sum_ {k = 1} ^ h \ alpha_k \ psi_k [/ matemáticas]
donde [math] \ alpha_k [/ math] es un coeficiente multiplicado por una función base [math] \ psi_k [/ math] y [math] h [/ math] denota que este es un espacio de dimensión finita. Dado que tanto [math] u [/ math] como [math] v [/ math] se aproximan de la misma manera, los coeficientes se deslizan a través de las derivadas e integrales en la formulación débil y aparecen al frente (estoy resumiendo aquí pero puede leer este artículo sobre el método de elementos finitos para obtener un resumen más detallado). Si usamos polinomios por partes para nuestras funciones básicas, esto prácticamente garantiza la ortogonalidad (son cero en todas partes excepto su elemento padre y solo se definen en una dirección) y, por lo tanto, la matriz resultante (a menudo llamada matriz de rigidez) es escasa y diagonalmente dominante .

Entonces, el mensaje para llevar a casa aquí es que las matemáticas involucradas en los espacios de Hilbert (específicamente el teorema de representación de Riesz) nos permiten tomar una ecuación diferencial lineal desafiante y convertirla en un problema de álgebra lineal. He pasado por alto MUCHAS matemáticas aquí, pero espero que entiendas la idea general. Una vez más, le recomiendo que lea este resumen del método de elementos finitos para completar su comprensión.

* Si recuerdo correctamente (lo que podría no estar haciendo), si la formulación débil es simétrica y bilineal, al menos se garantiza que sus soluciones serán únicas. Incluso si el problema no es simétrico, creo que las soluciones siguen siendo únicas para problemas lineales.

EDITAR: se agregó información sobre el teorema de representación de Riesz

Toda la teoría de las formas débiles de ecuaciones diferenciales, métodos de Galerkin y elementos finitos ocurre en los espacios de Hilbert.

Editar:

No creo que haya mucho que aprender sobre los espacios de Hilbert para usar FEM o Galerkin. Quizás si quisieras desarrollar tu propio método estudiarías más. Los conceptos básicos son la convergencia en sentido integral y la energía limitada.

El espacio de Hilbert es un tipo de espacio vectorial abstracto. El espacio se puede definir de varias maneras, pero a menudo se considera la solución a alguna ecuación diferencial o clase de ecuaciones diferenciales. En física e ingeniería, normalmente estamos interesados ​​en un tipo particular de espacio de Hilbert llamado [matemática] L ^ 2 [/ matemática] (L ^ 2-Espacio). En este espacio, las funciones tienen el producto interno [math] \ int f \ bar g dx [/ math] donde la barra superior significa conjugado complejo.

Esto es importante para Galerkin y FEM porque convergen en la solución en el sentido de los espacios [matemáticos] L ^ 2 [/ matemáticos]. Esto significa que su solución converge en un sentido integral, no necesariamente en un sentido local. Por ejemplo, [math] \ int \ frac {x ^ 2} {x} dx [/ math] es exactamente igual a [math] \ int x dx [/ math] aunque técnicamente el primer integrando no está definido en x = 0. La falta de convergencia local podría conducir a problemas algo sutiles en la simulación numérica (ver el fenómeno de Gibb, por ejemplo). Otra cosa importante es que las funciones que son miembros de un espacio [matemático] L ^ 2 [/ matemático] tienen energía limitada. De lo contrario, el producto interno [math] \ int u ^ 2 dx [/ math] no existiría.

Existen otros espacios. Pero en los problemas físicos generalmente nos preocupa la energía limitada, por lo que el espacio [matemático] L ^ 2 [/ matemático] de Hilbert se produce de forma natural. Ni siquiera puedo pensar en aplicaciones inteligentes o significativas de espacios alternativos porque los espacios [matemáticos] L ^ 2 [/ matemáticos] son ​​muy ubicuos.

Gracias a Thang Duong por algunas correcciones en algunos lugares donde falta mi conocimiento.

En el método de elementos finitos, la formulación variacional o débil del problema dado en el espacio de Hilbert se reemplaza por un subespacio de elementos finitos donde se busca la solución del problema, por lo tanto, es importante para FEM como punto de partida.

¡¡¡Espero que esto ayude!!!