[matemáticas] a (bc) ^ 4 + b (ca) ^ 4 + c (ab) ^ 4 = 836 [/ matemáticas]. ¿Encontrar la suma de todos los valores posibles de [math] c [/ math]?

Answer 1

Primero, reescribimos el problema con a = x , b = x + y , c = x + z . Aquí x es cualquier número entero, y y z son números enteros positivos con y < z , y
x ( z – y ) 4+ ( x + y ) z 4+ ( x + z ) y 4 = 836
Multiplicando el lado izquierdo y agrupando por potencias de x , obtenemos
x (2 z 4 + 2 y 4−4 yz 3−4 y 3 z +6 y 2 z 2) + ( yz 4+ zy 4) = 836
Esto puede reescribirse como
2 x ( y 4+ z 4−2 yz 3−2 y 3 z +3 y 2 z 2) + yz ( y + z ) ( y 2− yz + z 2) = 836
Al notar que y 4+ z 4−2 yz 3−2 y 3 z +3 y 2 z 2 = ( y 2− yz + z 2) 2, esto se simplifica a
( y 2− yz + z 2) (2 x ( y 2− yz + z 2) + yz ( y + z )) = 836
Esto implica que y 2− yz + z 2 divide 836 = 22⋅11⋅19.
Necesitamos dos lemas simples sobre y 2− yz + z 2.
Lema 1. Si y 2− yz + z 2 es par, entonces es divisible por 4. Además, y = 2 y ′, z = 2 z ′ e y 2− yz + z 2 = 4 ( y ′ 2− y ′ z ′ + z ′ 2)
Prueba. Si uno o ambos números y y z son impares, la expresión es impar.
Lema 2. Si 0 < y < z , entonces 34 z 2≤ y 2− yz + z 2 < z 2.
Prueba. Para la primera desigualdad, reescribe y 2− yz + z 2 como ( y – z 2) 2 + 34 z 2. Para la segunda desigualdad, reescribe y 2− yz + z 2 como y ( y – z ) + z 2.
Corolario. Si 0 < y < z e y 2− yz + z 2 = N , entonces N −−√ < z ≤4 N 3 −−− √.
Los divisores de 836 son
1,11,19,209; 2,22,38,418; 4,44,76,836
Supongamos que y 2− yz + z 2 = N.
Del Lema 1, N no puede tomar valores 2,22,38,418. Si N = 1, entonces por Lemma 2 no tenemos posibilidades para z .
Según el Lema 1, esto también implica que N = 4 no tiene soluciones, porque de lo contrario 0 < y ′ < z ′ e y ′ 2− y ′ z ′ + z ′ 2 = 1.
Si N = 11, entonces del Lema 2 obtenemos 11 −− √ < z ≤443 −− √, lo cual es imposible, ya que 32 443.
Según Lemma, 1 esto también implica que N = 44 no tiene soluciones.
Si N = 19, entonces del Lema 2 obtenemos 19 −− √ < z ≤763 −− √, entonces z = 5. Esto implica que y 2−5 y + 25 = 19, entonces y = 2 o y = 3. Si y = 2, entonces, al conectarnos a la ecuación original, obtenemos 2 x ⋅19 + 2⋅5⋅ (2 + 5) = 44. Esto da 38 x + 26 = 0, entonces x no es entero. Si y = 3, entonces obtenemos 38 x + 120 = 44, entonces x = −2. Esto da ( a , b , c ) = (- 2,1,3).
Si N = 76, entonces por el Lema 1 y el argumento anterior z = 10 e y = 4 o y = 6. En ambos casos, 2 x ⋅76 + yz ( y + z ) debe ser igual a 11, lo cual es imposible, porque es par.
Si N = 209, entonces del Lema 2 obtenemos 209 −−− √ < z ≤8363 −−− √, entonces z es 15 o 16. Si z = 15, obtenemos y 2−15 y + 225 = 209, entonces y 2−15 y + 16 = 0, no hay soluciones enteras para y . Si z = 16, obtenemos y 2−16 y + 256 = 209, que tampoco tiene soluciones enteras.
Según el Lema 1, esto implica que N = 836 no tiene soluciones.
En conjunto, (−1,2,3) es el único triple que satisface las condiciones requeridas, y la respuesta es 3.

Answer 2

¿Estás seguro de que la pregunta es correcta? Ejecuté un programa en C donde variaba los valores de a, b, c de -836 a +836 bajo la condición de que a

Le estoy dando el código C, puede intentar ejecutarlo para valores de rango más altos, pero en consecuencia tomará más tiempo.

Código:

#include
#include
#define L 836 // Realice los cambios aquí
int main ()
{
int a, b, c, f, suma = 0;
para (a = -L; a <= L; a ++)
{
para (b = a + 1; b <= L; b ++)
{
para (c = b + 1; c <= L; c ++)
{
f = a * pow (bc, 4) + b * pow (ca, 4) + c * pow (ab, 4);
// printf (“\ na =% d, b =% d, c =% d”, a, b, c);
si (f == 836)
{
printf (“\ na =% d, b =% d, c =% d”, a, b, c);
suma = suma + c;
}
}
}
}
printf (“\ n Suma de todos los valores de ‘c’:% d”, suma);
devuelve 0;
}