¿Cuál es el resto cuando 7 ^ 99 se divide por 2400 y cómo?

Answer 1

343

Intentemos hacerlo por el método de reconocimiento de patrones / ciclicidad . Puede ser realmente largo si no obtiene el patrón rápidamente. Utilice otros métodos como el Totient de Euler si no obtiene un patrón rápidamente.

Rem [7 ^ 1/2400] = Rem [7/2400] = 7
Rem [7 ^ 2/2400] = Rem [49/2400] = 49
Rem [7 ^ 3/2400] = Rem [343/2400] = 343
Rem [7 ^ 4/2400] = Rem [2401/2400] = 1

Después de esto, el mismo patrón seguirá repitiéndose porque obtuviste un 1.
Una vez que hayamos obtenido la ciclicidad (número de términos en el patrón), todo lo que tenemos que hacer es encontrar el resto del poder cuando se divide por la ciclicidad . Cualquiera que sea este resto, ese valor particular en el ciclo es nuestra respuesta.
En este caso, el poder es 99 y la ciclicidad es 4.
Rem [Potencia / Ciclicidad] = Rem [99/4] = 3
=> Nuestra respuesta será el tercer valor en el ciclo = 343

He respondido un montón de preguntas muy similares sobre los residuos. Puede obtener la lista completa aquí: Teorema restante y conceptos relacionados para la preparación de CAT por Ravi Handa en Preparación de CAT

Answer 2

Bueno, [matemáticas] 7 ^ 4 = 2401 \ equiv 1 \ pmod {2400} [/ matemáticas] y [matemáticas] 7 ^ {99} = (7 ^ 4) ^ {24} \ cdot 7 ^ 3 [/ matemáticas ], entonces [matemáticas] 7 ^ {99} \ equiv (7 ^ 4) ^ {24} \ cdot 7 ^ 3 \ equiv 1 ^ {24} \ cdot 343 \ equiv 343 \ pmod {2400} [/ matemáticas].

En una nota similar, [matemáticas] 9 ^ 3 = 729 [/ matemáticas] y [matemáticas] 12 ^ 3 = 1728 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 10 ^ 3 + 9 ^ 3 = 1729 \ equiv 1 \ pmod { 12 ^ 3} [/ math], y por lo tanto el resto de su segundo problema es solo [math] 1 [/ math].

Answer 3

Proporcionaré un método de verificación del resultado buscando ayuda de un sistema de álgebra computacional como Wolfram Methematica.
Al usar la función incorporada QuotientRemainder [] en Mathematica , la respuesta a esta pregunta se puede verificar.
Por definición, QuotientRemainder [m, n] proporciona una lista del cociente y el resto de la división de m por n.
Así:

y el resto es 343 .

Answer 4

7 ^ 1 (7) / 2400 = 7
7 ^ 2 (49) / 2400 = 49
7 ^ 3 (343) / 2400 = 343
7 ^ 4 (2401) / 2400 = 1
7 ^ 5 (resto de 7 ^ 4 × 7 ^ 1 = 7) / 2400 = 7
Ahora, después de cada 4 términos, estamos obteniendo el mismo conjunto de residuos que es 7,49,343,1, por lo que tenemos un ciclo de 4 y ahora solo necesitamos encontrar 99 es qué término en el ciclo, entonces 99/4 = 3 … Entonces el tercer término del ciclo es nuestro resto, que es 343

Answer 5

7 ^ 99 = 7 ^ 96.7 ^ 3 mod 2400 = (2400 + 1) ^ 24.343 mod 2400 = 343