Teoría de números: ¿Cuál es la forma más motivadora de introducir el orden de un módulo n? Además de simplificar los poderes de los residuos, ¿hay algún otro uso del pedido? ¿Hay algún ejemplo que tenga un impacto real en la motivación? Además, ¿por qué enseñamos raíces primitivas? ¿Cuál es la necesidad de este tema? ¿Existe un gancho realmente bueno que pueda usarse para introducir raíces primitivas?

Answer 1

Las raíces primitivas pueden ayudarlo (fácilmente) a enumerar todos los enteros en un sistema de residuos reducidos (RRS) sin fuerza bruta (es decir, tener que verificar (r, m) = 1 para todos los r <m).

Aquí hay un ejemplo rápido. Creo que este es un buen tratamiento de raíces primitivas sin ser demasiado cargada. (Uso el libro de Rosen’s Number Theory y enseño 6.1-6.1, 7.1 y una versión corta de 9.1 haciendo lo siguiente:

Defn. Una raíz primitiva es un número entero en el módulo RRS m tal que la potencia más pequeña k tal que r ^ k = 1 mod m es cuando k = phi (m).

Nota 1: El número de raíces primitivas es phi (phi (m)).

Nota 2: Si encuentra una raíz primitiva r, entonces las otras raíces primitivas son potencias de r (r ^ t) donde t es relativamente primo para phi (m).

Ejemplo:
1. Encuentra phi (10).
Resp. phi (10) = phi (2) phi (5) = 4.

2. Encuentra phi (phi (10)).
Resp. phi (phi (10) = phi (4) = 2 (esto significa que solo hay 2 raíces primitivas)

3. Encuentre un módulo raíz primitivo 10.
Resp. Observe que el único factor de 4 es 2. Pruebe r = 3 ya que (3,10) = 1.
Entonces, si 3 ^ 2 no es congruente con 1mod10, obliga a 3 ^ 4 a ser la potencia más baja de 3 que da 1mod10 (y, por lo tanto, 3 es una raíz primitiva). Como 3 ^ 2 = -1 mod 10, 3 es una raíz primitiva.

4. Encuentre las otras raíces primitivas módulo 10. (Sabemos que solo hay 2 de ellas)
Resp. Necesitamos encontrar enteros t tales que (t, phi (10)) = (t, 4) = 1. Solo hay t = 1 y 3. Por lo tanto, {3 y 3 ^ 3} = {3,27} = {3, 7} mod 10 son las raíces primitivas módulo 10.

Obviamente, puede hacer esto más interesante al tratar con números más grandes m …

Answer 2

Como una respuesta simple a la primera parte de su pregunta, podría decirle a su clase: “Estamos en el mes de octubre. La próxima película de Star Wars saldrá en 100 meses. ¿Qué mes será?”

Por lo general, se ríen de esta pregunta, pero esto lleva a la ecuación modular (suponiendo que numeremos los meses que comienzan con Jan = 0):

(9 + 100) mod 12 = 109 mod 12 = 1 que es febrero.

Esto al menos les da una forma divertida de comenzar a aprender sobre lo que significa un mod y que está relacionado con los ciclos.

Answer 3

Estoy seguro de que hay mejores respuestas que esta, pero podría usar el módulo para probar el pequeño teorema de Fermat, que me parece bastante interesante.