¿Por qué el producto de tres enteros consecutivos es divisible por 6?

Answer 1

Aquí hay una prueba formal con todos los pasos descritos de manera muy explícita. La declaración correcta de este teorema es la siguiente:

Para cada número natural k mayor o igual a 1, existe un número natural tal que:

k (k + 1) (k + 2) = 6a

Esto se puede demostrar por inducción, para k = 1:

1 (1 + 1) (1 + 2) = 6a
6 = 6a
a = 1

Para k = n + 1, el teorema establece:

(n + 1) (n + 2) (n + 3) = 6a

Para usar la hipótesis de inducción, expanda la multiplicación usando el último paréntesis:

(n + 1) (n + 2) (n + 3) =
(n + 1) (n + 2) n + (n + 1) (n + 2) 3 =
n (n + 1) (n + 2) +3 (n + 1) (n + 2)

Según la hipótesis de inducción, n (n + 1) (n + 2) es igual a 6b para algún número natural b. (n + 1) (n + 2) es un producto de un número impar y un número par, de ahí un número de la forma 2c para algún otro número natural c:

n (n + 1) (n + 2) = 6b
(n + 1) (n + 2) = 2c

Ahora solo sustituya esto en la expansión anterior:

(n + 1) (n + 2) (n + 3) =
n (n + 1) (n + 2) +3 (n + 1) (n + 2) =
6b + 3 * 2c =
6b + 6c =
6 (b + c)
a = b + c

Así que finalmente:

(n + 1) (n + 2) (n + 3) = 6 [(n (n + 1) (n + 2)) / 6 + ((n + 1) (n + 2)) / 2]

Con (n (n + 1) (n + 2)) / 6 + ((n + 1) (n + 2)) / 2 es un número natural, lo que debía probarse. Esta prueba también ilustra el hecho de que, teniendo un triple de números consecutivos y su producto, agregando a este producto el producto de los dos últimos números y el número 3 resulta en el producto de los siguientes tres números consecutivos, por ejemplo:

1 * 2 * 3 = 6
2 * 3 * 4 = 24 = 6 + 3 * (2 * 3)
3 * 4 * 5 = 60 = 24 + 3 * (3 * 4)
4 * 5 * 6 = 120 = 60 + 3 * (4 * 5)
5 * 6 * 7 = 210 = 120 + 3 * (5 * 6)
…

Answer 2

Debido a que uno de [math] 3 [/ math] números consecutivos siempre es divisible por [math] 3 [/ math] y, por lo tanto, uno definitivamente será divisible por [math] 2 [/ math].
Considere la ventana que cubre [matemáticas] 3 [/ matemáticas] enteros consecutivos a la vez.
[matemáticas] | 1, 2, 3 | , 4 \ ldots [/ math]
[matemáticas] 1, | 2, 3, 4 |, 5, \ ldots [/ math]
[matemáticas] 1, 2, | 3, 4, 5 |, 6, \ ldots [/ math]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
Uno de los números es siempre divisible por 3 y uno de ellos es definitivamente divisible por 2.

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Matemáticamente, supongamos que ninguno de [matemática] n, n + 1, n + 2 [/ matemática] es divisible por [matemática] 3 [/ matemática].
Entonces [math] n, n + 1, n + 2 [/ math] pertenecería a cualquiera de los conjuntos [math] S_1 = \ {1, 4, 7, \ ldots \} [/ math] & [math] S_2 = \ {2, 5, 8, 11, \ ldots \} [/ math]
Sin embargo, si [matemática] n \ en S_1 [/ matemática] es decir [matemática] n = 3 \ lambda + 1 [/ matemática] entonces [matemática] n + 2 \ en 3N [/ matemática] [matemática] \ Rightarrow [/ matemática] contradicción.
Si [math] n \ en S_2 [/ math] es decir [math] n = 3 \ lambda + 2 [/ math] entonces [math] n + 1 \ in 3N [/ math] [math] \ Rightarrow [/ math] contradicción una vez más.
Lo mismo se puede probar para la divisibilidad por [math] 2 [/ math].

Answer 3

Me gustan las matemáticas simbólicas, así que aquí hay una prueba simbólica 😀
tomar 3 números consecutivos n, n + 1, n + 2

ahora 3 | (n) o 3 | (n + 1) o 3 | (n + 2)

prueba: si se cierra el capítulo 3 | n
if 3 | (n + 1) nuevamente capítulo cerrar
si 3 ~ | ny 3 ~ | (n + 1) entonces tenemos que demostrar 3 | (n + 2)
tomar 3 ~ | n => n = 3 * k + 1 o n = 3 * k + 2
pero no puede ser n = 3 * k + 2 porque si es así, entonces (n + 1) = 3 * k + 3 = 3 * (k + 1) = 3 * (k ‘) => 3 | (n + 1)
entonces 3 ~ | n => n = 3 * k + 1
agregue 2 en ambos lados (n + 2) = 3 * k + 3 => (n + 2) = 3 * k ‘=> 3 | (n + 2) por lo tanto demostrado

así que, en última instancia, todo lo que necesitamos saber es 3 | (n) o 3 | (n + 1) o 3 | (n + 2) … resultado (1)

ahora tome los números que no se dividieron por 3, por ejemplo, si 3 | n, entonces tome n + 1 yn + 2

Ahora reclamaré 2 | (n + 1) o 2 | (n + 2) muy similar a la prueba anterior, podemos probar esto también y es mucho más fácil

así que de nuevo obtenemos el resultado 2 | (n + 1) o 2 | (n + 2) … resultado (2)

utilizando otra propiedad si a | byc | d => ab | cd y los resultados (1) y (2)
obtenemos 3 * 2 | n (n + 1) o 3 * 2 | n (n + 2) o 3 * 2 | (n + 1) (n + 2)

así 6 | n (n + 1) o 6 | n (n + 2) o 6 | (n + 1) (n + 2)… resultado (3)

usando otra propiedad a | b => a | bc y resultado (3) obtengo
6 | n (n + 1) (n + 2)

PS1: | significa divide ~ | significa no divide
PS2: k es un número entero
PS3: si fuera en papel, habría usado más símbolos. maldita sea este teclado

Answer 4

Un número de dos enteros consecutivos es divisible por 2. Un número de tres enteros consecutivos es divisible por 3. Por lo tanto, el producto de 3 enteros consecutivos es divisible por 2 y 3 y, por lo tanto, también es divisible por 6.

La generalización de esta afirmación también es cierta: el producto de n enteros consecutivos es divisible por [math] n! [/ Math].

Answer 5

Cuando tomas 3 números consecutivos, uno de ellos obviamente será un producto de 2 y uno de ellos será un producto de 3.

p.ej:
8-> producto de 2
9-> producto de 3
10-> insignificante

Cuando multiplica estos tres números, resultan ser un producto de 6. es decir, el factor de 2 de nuestro ejemplo-8 y el factor de 3 del ejemplo-9, le da el resultado de un número que es un múltiplo de 6 .

en nuestro ejemplo, obtienes una respuesta de 720, que es divisible por 6.

Puede tomar cualquier combinación de números y puede encontrar el mismo patrón.
Por ejemplo: 22 (múltiplo de 2), 23, 24 (múltiplo de 3)
por ejemplo: 52 (múltiplo de 2), 53, 54 (múltiplo de 3)

Entonces, la respuesta a su pregunta es que, cuando multiplica 3 números consecutivos, inevitablemente está creando un múltiplo de 6. Y su número resultante obviamente se convierte en un múltiplo de 6.

Answer 6

Aquí hay una forma diferente de probar esto.

Los tres enteros consecutivos son de la forma [matemática] (n-1), n, (n + 1) [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática] es el valor medio. El producto de estos tres números es [matemática] n ^ 3 – n [/ matemática]. Por lo tanto, debemos mostrar que [math] n ^ 3 = n \ mod 6 [/ math] para cualquier número entero [math] n [/ math].

Solo necesitamos verificar los seis casos [matemática] n = 0, 1, 2, 3, 4 [/ matemática] y [matemática] 5 [/ matemática]. Para cualquier otro número entero [math] k [/ math], sería de la forma [math] 6c + p [/ math], y dado que [math] 6c + p = p \ mod 6 [/ math], entonces [ matemáticas] k ^ 3 = p ^ 3 \ mod 6 [/ matemáticas].

Se muestra fácilmente que los números [matemática] 0, 1, 8, 27, 64 [/ matemática] y [matemática] 125 [/ matemática] dejan un resto de [matemática] 0, 1, 2, 3, 4 [ / matemática] y [matemática] 5 [/ matemática] respectivamente cuando se divide por [matemática] 6 [/ matemática]. Entonces la afirmación es cierta.

Answer 7

Para cualquier número natural q> 1, q divide exactamente uno de los números entre cualquier lista de q números naturales consecutivos. Por lo tanto, 2 divide al menos uno de los 3 números consecutivos y 3 divide uno de estos 3 números. En consecuencia, 2 * 3 = 6 divide su producto. QED

Answer 8

Esta respuesta se basa en mi comprensión del problema. Es posible que esta no sea la prueba formal de lo que se da. Aquí va.

Entonces, sabemos que para que un número sea divisible entre 6, debe ser divisible entre 2 y 3.

Ahora quiero que tomes 3 números consecutivos del conjunto de números enteros y encontrarás que siempre habrá un número par y un múltiplo de 3.

¿Porqué es eso? Porque el intervalo después del cual ocurre un número par es menor que el intervalo que estamos tomando. Lo mismo vale para múltiplo de 3.

Estoy seguro de que la aparición de pares debe haber hecho clic en usted, sobre los múltiplos de 3 bien, cada conjunto de números consecutivos puede verse como 3n, 3n + 1,3n + 2. Aquí, 3n es divisible por 3. Si toma el siguiente número que es 3n + 3 , este número también es divisible por 3.

Así que hemos demostrado que siempre habrá un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3 en tres números consecutivos y por el producto de estos números siempre habrá un factor de 6 en el producto, por lo tanto, el producto será divisible por 6 .

Espero que esto ayude.

Answer 9

La más simple es que podemos ver cada tres no consecutivos. tener factores de 2 y 3 o 6
Entonces, si tienen factores de 2 y 3 si los multiplicamos, el resultado sería un múltiplo de 6
Ex. supongamos tres no.
Deje 13,14,15
Podemos ver que 14 tienen un factor de 2 y 15 tienen un factor de 3
Entonces, cuando los multipliquemos, el producto tendría un factor de 6

Answer 10

Entonces, cuando consideramos tres enteros consecutivos, sabemos que al menos uno de ellos es par y, por lo tanto, tiene un factor 2. También sabemos que al menos uno de ellos es múltiplo de 3 y, por lo tanto, tiene un factor 3. Por lo tanto, cuando multiplicamos tres enteros consecutivos, multiplicamos 2 y 3 (lo que produce 6) junto con algunos otros números (que no importan para esta pregunta). En otras palabras, estamos multiplicando 6 con algunos números aleatorios que aún darían el resultado final como un múltiplo de 6 y, por lo tanto, es divisible por 6.

Answer 11

Estas pruebas están muy bien, pero si los enteros consecutivos son -1, 0 y 1, no estoy seguro de que esta declaración inicial aún se mantenga.