Supongamos que byc son enteros positivos de modo que las ecuaciones polinómicas [matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2 + bx-c = 0 [/ matemáticas] ambas tienen soluciones enteras. Determine la suma de todos los valores de [math] b \ leq50 [/ math] para los que existen polinomios de esta forma.

Answer 1

La única forma en que ambos pueden tener soluciones enteras es encontrar factores de c que sumen a b y resten a b.

Esto nos da las dos ecuaciones:
m – n = b
y
m / x + nx = b

Donde m, n y x son enteros positivos, ym> n

Al resolver el sistema de ecuaciones, obtienes n = m (x-1) / (x (x + 1))

Para x = 1, esto produce m = n = b = 0
Para x = 2, esto produce m = 6n, b puede ser cualquier factor de 5
Para x = 3, esto produce m = 6n,
Para x = 4, esto produce 3m = 20n, b puede ser cualquier factor de 17
Para x = 5 esto produce 2m = 15n, b puede ser cualquier factor de 13
Para x = 6 esto produce 5m = 42n, b puede ser cualquier factor de 37
Para x = 7 esto produce 3m = 28n, b puede ser cualquier factor de 25
Para x = 8 esto produce 7m = 72n, b puede ser cualquier factor de 65
Para x = 9 esto produce 4m = 45n, b puede ser cualquier factor de 41

Todos los demás arrojan resultados con b> 50 (no estoy seguro de cómo probar esto)

Esto nos da 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 17, 34, 13, 26, 39, 37, 41

Esto nos da una suma de 482.