¿Podemos demostrar que si [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son ​​dos enteros positivos tales que [matemática] m [/ matemática] divide [matemática] n [/ matemática], entonces [matemática] F_m [/ math] divide [math] F_n [/ math]?

Answer 1

La secuencia de Fibonacci [matemáticas] \ {F_n \} _ {n \ ge 1} [/ matemáticas] viene dada por la recurrencia de segundo orden

[matemática] F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} [/ matemática] para [matemática] n \ ge 3,… (\ estrella) [/ matemática]

con [matemáticas] F_1 = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] F_2 = 1 [/ matemáticas]. Al establecer [math] F_0 = 0 [/ math], ampliamos la definición en la ecuación. (\ star) para mantener para [math] n \ ge 2 [/ math].

Propiedad. Para [matemáticas] m \ ge 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas],

[matemática] F_ {m + n} = F_ {m + 1} F_n + F_m F_ {n-1} [/ matemática]. [matemáticas] … (\ estrella \ estrella) [/ matemáticas]

Prueba. Arregle [math] m \ ge 0 [/ math]. Utilizamos inducción matemática en [matemáticas] n [/ matemáticas]. El caso base es [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], y esto requiere que demostremos

[matemáticas] F_ {m + 1} = F_ {m + 1} F_1 + F_m F_0 [/ matemáticas].

Esto es válido desde [math] F_0 = 0 [/ math] y [math] F_1 = 1 [/ math].

Ahora asuma la ecuación. [math] (\ star \ star) [/ math] se mantiene para [math] n = 1,2,3, \ ldots, k [/ math]. Entonces

[matemáticas] F_ {m + 1} F_ {k + 1} + F_m F_k = F_ {m + 1} \ big (F_k + F_ {k-1} \ big) + F_m \ big (F_ {k-1} + F_ {k-1} \ big) [/ math]

[matemáticas] = \ big (F_ {m + 1} F_k + F_m F_ {k-1} \ big) + \ big (F_ {m + 1} F_ {k-1} + F_m F_ {k-1} \ grande) [/ matemáticas]

[matemáticas] = F_ {m + k} + F_ {m + k-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = F_ {m + k + 1} [/ matemáticas].

La prueba de esta propiedad está completa. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Aplicar Propiedad a [math] n = km [/ math], donde [math] k \ in \ mathbb N [/ math] para obtener de la ecuación. [matemáticas] (\ estrella \ estrella) [/ matemáticas]

[matemáticas] F _ {(k + 1) m} = F_ {m + 1} F_ {km} + F_m F_ {km-1} [/ matemáticas].

Entonces, si [math] F_m \ mid F_ {km} [/ math], entonces [math] F_m \ mid F _ {(k + 1) m} [/ math]. Como [math] F_m \ mid F_m [/ math], se sigue, nuevamente por inducción matemática , que [math] F_m \ mid F_ {km} [/ math] para cada [math] k \ in \ mathbb N [/ math ] [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

La idea es implementar su conocimiento existente y sus habilidades de juego de ecuaciones juntos.

Conoces la definición de los números de Fibonacci:

[matemáticas] F (n) = F (n-1) + F (n-2) [/ matemáticas]

Y se debe demostrar que [matemática] F (n) [/ matemática] es divisible por [matemática] F (m) [/ matemática] si [matemática] n [/ matemática] es divisible por [matemática] m [/ matemáticas].

En términos simples, tenemos que demostrar que [math] F (kn) [/ math] es divisible por [math] F (n) [/ math], donde [math] k [/ math] es un número entero.

Pasemos ahora simplemente usando el principio de inducción matemática:

1. Para [matemática] k = 1 [/ matemática], la afirmación es verdadera ya que [matemática] F (n) [/ matemática] es divisible por [matemática] F (n) [/ matemática].
2. Suponga que la afirmación es cierta para algunas [matemáticas] k [/ matemáticas], es decir , [matemáticas] F (kn) [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] F (n) [/ matemáticas].
3. De nuestra suposición, [matemáticas] F (k + 1) n [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] F (n) [/ matemáticas]. Ahora, [matemáticas] F (kn + n) [/ matemáticas]
   = [matemáticas] F (kn + n-1) + F (kn + n-2) [/ matemáticas]
   = [matemáticas] 2F (kn + n-2) + F (kn + n-3) [/ matemáticas]
   = [matemáticas] 3F (kn + n-3) + 2F (kn + n-4) [/ matemáticas]
   = [matemáticas] F (t + 1) F (kn + nt) + [/ matemáticas] [matemáticas] F (t) F [kn + n- (t + 1)] [/ matemáticas]
4. Entonces es bastante fácil ver eso:
   [matemáticas] F (kn + n) = F (n) F (kn + 1) + F (n-1) F (kn) [/ matemáticas]
   Por lo tanto, [matemática] F [(k + 1) n] [/ matemática] es divisible por [matemática] F (n) [/ matemática] bajo nuestro supuesto.

La declaración que se probará es verdadera para [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas], y hemos demostrado que si es cierto para algunas [matemáticas] k [/ matemáticas], entonces es cierto para [matemáticas] k + 1 [/ matemáticas].
QED