¿Cómo define un algoritmo para calcular la forma racional (a / b) de cualquier decimal repetitivo?

Answer 1

Es solo una serie geométrica simple.

Por ejemplo, considere el número [matemáticas] x = 0. (47) = 0.474747 \ puntos [/ matemáticas]

Este número también se puede escribir de la siguiente manera:
[matemáticas] x = \ frac {47} {100} + \ frac {47} {10,000} + \ frac {47} {1,000,000} + \ cdots [/ math]
y esa es una serie geométrica infinita simple y llanamente. El primer término es [matemática] 47/100 [/ matemática], y la proporción es [matemática] 1/100 [/ matemática].

Por lo tanto, la suma de esta serie es:
[matemática] \ frac {47} {100} \ cdot \ frac {1} {1- (1/100)} = \ frac {47} {99} [/ matemática].

En general, se toma el período anterior como una fracción separada, el primer término es la fracción que representa la primera aparición del período y la relación es [matemática] 1/10 ^ \ ell [/ matemática], donde [matemática ] \ ell [/ math] es la duración del período.

Por ejemplo, aquí se explica cómo convertir [matemática] y = 0.123 (47) [/ matemática] en una fracción:

[matemáticas] y = \ frac {123} {1000} + \ left (\ frac {47} {100,000} + \ frac {47} {10,000,000} + \ cdots \ right) [/ math]

[matemáticas] y = \ frac {123} {1000} + \ frac {47} {100,000} \ cdot \ frac {100} {99} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {1528} {12,375} [/ matemáticas]

Answer 2

Un truco muy simple, el más simple de todos. ¡DISFRUTAR!

Denominador PRIMERO:
La parte que se repite corresponde al número de dígitos debajo de la barra, tome tantos nueves como dígitos debajo de la barra horizontal. El número de dígitos en el que no hay barra nos daría el número de 0
[matemáticas] 0. \ overline {142857} [/ matemáticas] -> 999999
[matemáticas] 0.1 \ overline {42857} [/ matemáticas] -> 999990
[matemáticas] 0.14 \ overline {2857} [/ matemáticas] -> 999900
[matemáticas] 0.142 \ overline {857} [/ matemáticas] -> 999000
[matemáticas] 0.1428 \ overline {57} [/ matemáticas] -> 990000
[matemáticas] 0.14285 \ overline {7} [/ matemáticas] -> 900000

Numerador
escriba el número como está completamente y reste de él la parte que no tiene barra sobre él.
[matemáticas] 0. \ overline {142857} [/ matemáticas] -> 142857
[matemáticas] 0.1 \ overline {42857} [/ matemáticas] -> 142857 – 1 = 142856
[matemáticas] 0.14 \ overline {2857} [/ matemáticas] -> 142857 – 14 = 142843
[matemáticas] 0.142 \ overline {857} [/ matemáticas] -> 142857 – 142 = 142715
[matemáticas] 0.1428 \ overline {57} [/ matemáticas] -> 142857 – 1428 = 141429
[matemáticas] 0.14285 \ overline {7} [/ matemáticas] -> 142857 – 14285 = 128572

Finalmente Numerador / denominador, reduzca eso y lo obtendrá en los términos más bajos

[matemáticas] 0. \ overline {142857} [/ matemáticas] = [matemáticas] 999999/142857 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0.1 \ overline {42857} [/ matemáticas] = [matemáticas] 999990/142856 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0.14 \ overline {2857} [/ matemáticas] = [matemáticas] 999900/142843 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0.142 \ overline {857} [/ matemáticas] = [matemáticas] 999000/142715 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0.1428 \ overline {57} [/ matemáticas] = [matemáticas] 990000/141429 [/ matemáticas]
[matemática] 0.14285 \ overline {7} [/ matemática] = [matemática] 900000/128572 [/ matemática]

Ejemplos:
[matemáticas] 0. \ overline {2} [/ matemáticas] = 2/9
[matemáticas] 0. \ overline {3} [/ matemáticas] = 3/9 = 1/3
[matemáticas] 0. \ overline {4} [/ matemáticas] = 4/9
[matemáticas] 0. \ overline {09} [/ matemáticas] = 09/99 = 1/11
[matemática] 0.08 \ overline {3} [/ matemática] = (083-08) / 900 = 75/900 = 1/12

CONSEJO: Aprenderlos todos comenzando desde 1/2, 1/3, 2/3, ..1 / 5, 2/5 … hasta 1/13, en forma decimal, puede ayudarlo a mejorar su velocidad de cálculo.

¡Los mejores deseos!

Answer 3

Comencemos con un ejemplo específico: [matemáticas] X = 0. \ overline {142857} [/ matemáticas]

Primero, tenga en cuenta que es fácil expresar cualquier decimal no repetido en forma racional usando un denominador que sea una potencia de 10. Por ejemplo,

[matemática] 0.1 = \ frac {1} {10} [/ matemática], [matemática] 0.14 = \ frac {14} {100} [/ matemática] y [matemática] 0.142 = \ frac {142} {1000} [/matemáticas].

Así que tratemos de encontrar una expresión en X que se evalúe como un decimal no repetido. Explotando la naturaleza repetitiva X, intentemos:

[matemática] 1000000X – X = 142857. \ overline {142857} – 0. \ overline {142857} [/ math] [math] = 142857 [/ math].

Esto es equivalente a [matemática] 999999X = 142857 [/ matemática], o [matemática] X = \ frac {142857} {999999} = \ frac {1} {7} [/ matemática].

El mismo truco se puede aplicar a cualquier decimal repetitivo: en lugar de usar 1000000, intente [math] 10 ^ p [/ math], donde p es la periodicidad de la repetición.