Para cualesquiera 3 enteros arbitrarios a, byc, ¿existe siempre alguna base real k tal que axb = c sea verdadero en la base k?

Answer 1

(Contraejemplo rápido: [matemática] a = b = c \ neq 1 [/ matemática])

Esta pregunta … realmente no tiene sentido.

Me preguntaste sobre 3 enteros arbitrarios. Piense en el sistema de representación digital que utilizamos como no siendo números en sí mismos, sino como punteros a números: [matemática] 11 [/ matemática] no es un número, pero una vez que sabe que está escrito en la base, es el producto de la primera y terceros primos puede determinar a qué número apunta.

Si quiere decir “interpretar los enteros a, b y c como enteros, no representaciones de enteros”, entonces no. Nunca es cierto que el primer primo (2), multiplicado por el tercer primo (5), será igual al quinto primo (11), independientemente de cómo elija escribirlos.

Si quiere decir “reinterpretar los punteros como si estuvieran escritos en una base diferente” … eso funciona, siempre y cuando se limite a usar bases más grandes que el dígito más grande que utilizó (no puede interpretar “42” como una cadena binaria , después de todo). Exprese cada uno de [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] como, por ejemplo, [math] a_0 p ^ 0 + a_1 p ^ 1 + a_2 p ^ 2 [/ math], un polinomio en [math] p [/ math], la base que estamos buscando. Queremos

[matemáticas] \ sum a_i p ^ i \ times \ sum b_j p ^ j = \ sum c_k p ^ k [/ math]

Equivalentemente

[matemática] \ sum c_k p ^ k – \ sum a_i p ^ i \ times \ sum b_j p ^ j = 0 [/ math]

Este es un polinomio en [matemáticas] p [/ matemáticas]. Excepto por el caso especial donde este es el polinomio cero, solo tiene finitamente muchos ceros. No es difícil construir casos (digamos, haciendo que el dígito inicial de [math] c [/ math] sea muy grande o que [math] c [/ math] sea mucho más largo que [math] a, b [/ math], es decir, el polinomio se reduce rápidamente al infinito) donde ninguno de los ceros son enteros positivos.

Answer 2

No. Por ejemplo, si a = 0 yc no es igual a 0, entonces axb no puede ser igual a c en ningún sistema base.