Los famosos son todos hermosos a su manera. La prueba de Eisenstein es hermosa para mí debido a la forma inesperada en que aparece la función de piso, es decir, puramente geométrica. (En PROMYS, su paso clave se llama el lema “Pretty Picture”). La prueba de las sumas de Gauss es interesante, porque una forma de calcular la magnitud de la suma de Gauss relevante es por la modularidad de la theta de Jacobi (es cierto, un poco exagerado ), que sugiere cómo las formas modulares pueden influir en la teoría de números algebraicos de manera más general. La prueba de álgebra conmutativa es quizás la más generalizada a la teoría de campo de clase.
Mi favorito personal me lo enseñó Tim Kunisky, quien lo encontró de forma independiente, aunque su primer autor fue G. Rousseau. Deje que [math] p, q [/ math] sean primos impares distintos y deje que [math] U_p [/ math] denote el grupo de unidades módulo [math] p [/ math]. En lo que sigue, voy a abusar un poco de la notación. Sea [math] N [/ math] el subgrupo de [math] U_p \ times U_q [/ math] generado por [math] (- 1, -1) [/ math]. Entonces
[matemática] S_1 = \ {(a, b): b \ leq (q – 1) / 2, [/ matemática] [matemática] \ matemática {mcd} (a, p) = \ matemática {mcd} (b, q) = 1 \} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] S_2 = \ {(n, n): n \ leq (pq – 1) / 2, \, \ mathrm {gcd} (n, pq) = 1 \} [/ matemáticas]
son dos conjuntos completos de repeticiones de coset para [math] (U_p \ times U_q) / N [/ math]. Verifique mediante un argumento de biyección que el producto de los elementos de [math] S_1 [/ math] es congruente con [math] ((p – 1)! ^ {(Q – 1) / 2}, (-1) ^ { (p – 1) (q – 1) / 4} (q – 1)! ^ {(p – 1) / 2}) [/ math]. Según el criterio de Euler, el producto de los elementos de [math] S_2 [/ math] es congruente con [math] ((q | p) (p – 1)! ^ {(Q – 1) / 2}, (p | q) (q – 1)! ^ {(p – 1) / 2}) [/ math]. Según la definición de [math] N [/ math], podemos equiparar el producto de las dos entradas del primer par con el producto de las dos entradas del segundo. La reciprocidad cuadrática sigue.
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