¿Qué es el teorema binomial?

Answer 1

El teorema del binomio nos dice una forma conveniente de expandir el poder de un binomio. Es decir, si tenemos un binomio [matemático] x + y [/ matemático], y queremos elevarlo a la cuarta potencia, entonces calculamos:

[matemáticas] (x + y) ^ 4 = {4 \ elegir 0} x ^ 4 y ^ 0 + {4 \ elegir 1} x ^ 3 y ^ 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] + {4 \ elegir 2} x ^ 2 y ^ 2 + {4 \ elegir 3} x ^ 1 y ^ 3 + {4 \ elegir 4} x ^ 0 y ^ 4. [/ matemáticas]

En general, para cualquier [matemática] n> 0 [/ matemática], tenemos

[matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} x ^ {nk} y ^ k, [/ matemáticas]

que es el mismo patrón que el anterior.

Los términos

[matemáticas] \ binom {n} {k} [/ matemáticas]

son conocidos como coeficientes binomiales e iguales

[matemáticas] \ frac {n!} {k! (nk)!}. [/ matemáticas]

Se usan a menudo en el campo de la teoría de números y la combinatoria, y tienen relaciones profundas con el Triángulo de Pascal, los números de Fibonacci y otras cosas.

Answer 2

Esta es una pregunta antigua y ha sido respondida con gran detalle, en varios niveles, en muchos lugares de la red.

Mi favorito personal es la entrada de Wikipedia [1]. Otro popular es Wolfram MathWorld [2]. Si prefiere una presentación en vivo, pruebe Khan Online Academy [3].

Notas al pie

[1] Teorema binomial – Wikipedia

[2] Teorema binomial

[3] Introducción al teorema binomial

Answer 3

Un binomio es una expresión algebraica que contiene 2 términos. Por ejemplo, (x + y) es un binomio.

A veces necesitamos expandir binomios de la siguiente manera:

(a + b) 0 = 1

(a + b) 1 = a + b

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b) 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b) 5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Claramente, hacer esto por multiplicación directa se vuelve bastante tedioso y puede ser bastante difícil para poderes más grandes o expresiones más complicadas.

Las computadoras pueden hacer esto por nosotros muy fácilmente.

Triángulo De Pascal

Notamos que los coeficientes (los números delante de cada término) siguen un patrón. [Esto fue notado mucho antes que Pascal, por los chinos.]

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Puede usar este patrón para formar los coeficientes, en lugar de multiplicar todo como lo hicimos anteriormente.

El teorema binomial

Usamos el teorema del binomio para ayudarnos a expandir los binomios a cualquier potencia dada sin multiplicación directa. Como hemos visto, la multiplicación puede llevar mucho tiempo o incluso no ser posible en algunos casos

Fórmula del teorema binomial

Basado en las propiedades binomiales, el teorema binomial establece que la siguiente fórmula binomial es válida para todos los valores enteros positivos de n

(a + b) n = nC0an + nC1an − 1b + nC2an − 2b2 + nC3an − 3b3 +… + nCnbn

Podemos usar el nCr

N

C

R

Botón en nuestra calculadora para encontrar estos valores.

nCr

N

C

R

A veces se escribe nCr.