Debido a que surgen muchos patrones al estudiar la teoría de números, y se desarrollan muchas nuevas herramientas y perspectivas para comprender los números primos. Es similar a otras ramas de las matemáticas en que requiere nuevas técnicas para profundizar, y nos topamos con fenómenos interesantes en el proceso. La diferencia es que los fenómenos interesantes generalmente no son interesantes dentro del contexto del mundo físico.
Por ejemplo, muchas personas que toman ecuaciones diferenciales ordinarias de pregrado aprenderán sobre una ecuación diferencial lineal de primer orden en particular, que modela el escenario depredador-presa que muchos agricultores no tuvieron en cuenta al tratar de exterminar algunas plagas. Esencialmente, querían matar las plagas al comer sus cultivos y alguien desarrolló un poderoso veneno que no dañaría sus cultivos, pero no tomaron en cuenta el efecto que tendría en los DEPREDADORES de los insectos. El veneno mató con éxito a muchos insectos, pero también mató a muchos de los depredadores, la tasa de reproducción de los insectos no deseados aumentó extraordinariamente y tenían poblaciones récord de los mismos insectos que intentaban matar.
Este es un hecho absolutamente interesante, y cuando lo aprendimos en mi clase, realmente nos reímos por lo contrario que era intuitivo (eliminar errores, obtener aún más errores).
Esto difiere de la teoría de números en que no hay experiencia física que lo haga interesante. No es divertido porque algunos granjeros tontos olvidaron tomar algo en consideración. Es simplemente interesante como es.
Uno de esos resultados de la teoría de números es el pequeño teorema de Fermat: si [matemática] p [/ matemática] es primo y [matemática] p [/ matemática] NO divide [matemática] a [/ matemática], entonces [matemática] p [ / math] SÍ divide [math] a ^ {p-1} -1 [/ math]. Bueno, veamos lo que sabemos con solo mirar la declaración. Sabemos que [matemática] p [/ matemática] no divide [matemática] a [/ matemática] y, por lo tanto, no divide [matemática] a ^ {p-1} [/ matemática]. Pero restando 1? Típicamente cuando resta 1 de un número, cambia su factorización prima dramáticamente; [matemáticas] 2 ^ {2} \ veces 3 = 12, 12-1 = 11 [/ matemáticas], o [matemáticas] 2 ^ {3} \ veces 3 = 24, 24-1 = 23, 23-1 = 22 = 2 \ por 11 [/ matemáticas]. ¿Por qué debería restar 1 FUERZA el nuevo número para ser divisible por [math] p [/ math]? Bueno, se ha demostrado, pero la prueba más simple que he visto utiliza la expansión binomial y la inducción.
Otro resultado es aún más antiguo, llamado Teorema de Euclides, y afirma que hay una cantidad infinita de números primos. La parte más complicada de la prueba de Euclides utiliza el hecho de que si un número divide dos números, entonces también divide su diferencia.
Tener el infinito en las manos, o saber con absoluta certeza que un patrón dado SIEMPRE se mantendrá; eso es esencialmente por qué es puro.