Si no hubo restricciones, entonces la respuesta es obvia: 1 y 11111111111. Llamemos a este número K. ¿Podemos factorizar K incluso si no tenemos un algoritmo de factorización o el tiempo para usar el Tamiz de Eratóstenes? Probemos algunos enfoques. Algunos de estos pueden ser callejones sin salida. Así es como funciona la resolución de problemas. Incluso si no obtenemos una respuesta, veamos cómo intentaríamos obtenerla.
Intento n. ° 1:
Si se excluye lo obvio, entonces, ¿qué sabes?
– La suma de los dígitos es 2; por lo tanto, 3 y 9 no pueden ser factores
– K es extraño; por lo tanto no es divisible por 2, 4, 6 u 8.
– K no termina en 0 o 5; por lo tanto, no es divisible por 5.
Hemos eliminado todos los números excepto 7. Esto no significa que 7 sea un factor. Solo significa que 7 es el único número de un solo dígito que podría ser un factor. Pero 7 no es un factor (ni es 11 ya que no hay un número par de 1). Entonces este es un callejón sin salida.
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¿Cuál es el factor más importante que esto podría tener (si no es primo)? Su raíz cuadrada, que es 105409.255338 o 105.409. Entonces uno de los factores debe ser <= 105,409. El otro, por supuesto, puede ser más grande. Entonces, si K no es un número primo, ¿qué hacemos?
Intento n. ° 2:
Tomemos un enfoque diferente. ¿Qué dígitos de unidades son necesarios para producir un último dígito de unidades de 1? Obviamente, un número podría terminar en 1 (x 1). Pero no 2. 3 (x 7). Pero no 4 o 5 o 6. 7 (x 3) pero ya tenemos eso. No 8. 9 (x 9).
Entonces, si K no es primo, entonces los dos factores DEBEN terminar en uno de estos y uno de los factores debe ser <= 105,409:
– 1 y 1
– 3 y 7
– 9 y 9
Interesante, pero eso no parece llevarnos mucho más lejos.
Intento n. ° 3:
Veamos si podemos probar cuadrados perfectos para resolver esto. Supongo que tenemos una calculadora básica disponible.
Lo que esto significa es si podemos encontrar un número N tal que | N ^ 2 – K | = un número que es un cuadrado perfecto, llámelo P. Porque entonces tiene una forma (a + b) (ab) que le dará los factores. Esa también es una buena idea, pero resulta que no hay nada alrededor de 105409 que le dé a uno una configuración cuadrada perfecta como esta. Por lo tanto, no es realmente un problema que deba resolverse a mano.
Conclusión:
Esta imposibilidad (a menos que uno pueda hacer factoraje mental) me dice que la respuesta debe ser: 1 y 11111111111. Eso, más el hecho de que esto es para CPA. Incluso si supieras cómo usar curvas elípticas para factorizar, esa no es una habilidad de nivel de CPA.
Puede haber otro enfoque para esto usando otros aspectos de la teoría de números. Los matemáticos profesionales podrían intervenir. Pero no hay forma de que los CPA sepan eso. La respuesta calculada, como señaló Jannie, muestra que el factor primo más pequeño es 21,649 (y notará que ambos factores terminan en 9). No hay forma obvia de sacar eso de un sombrero. El cuadrado de eso es 468679201, que tampoco es muy útil.
Finalmente, observe que la pregunta podría haberse hecho lo suficientemente fácil. 10 1 sería divisible por 11. 9 1 por 111. 8 1 sería divisible por 11 y 1111. Pero 11 1 (un número primo de 1) no es susceptible de división por otra serie de 1 sin dejar un resto (residuo )