Prueba de coeficiente intelectual: 34) ¿Por qué número 11111111111 es completamente divisible?

Si no hubo restricciones, entonces la respuesta es obvia: 1 y 11111111111. Llamemos a este número K. ¿Podemos factorizar K incluso si no tenemos un algoritmo de factorización o el tiempo para usar el Tamiz de Eratóstenes? Probemos algunos enfoques. Algunos de estos pueden ser callejones sin salida. Así es como funciona la resolución de problemas. Incluso si no obtenemos una respuesta, veamos cómo intentaríamos obtenerla.

Intento n. ° 1:
Si se excluye lo obvio, entonces, ¿qué sabes?

– La suma de los dígitos es 2; por lo tanto, 3 y 9 no pueden ser factores
K es extraño; por lo tanto no es divisible por 2, 4, 6 u 8.
K no termina en 0 o 5; por lo tanto, no es divisible por 5.

Hemos eliminado todos los números excepto 7. Esto no significa que 7 sea un factor. Solo significa que 7 es el único número de un solo dígito que podría ser un factor. Pero 7 no es un factor (ni es 11 ya que no hay un número par de 1). Entonces este es un callejón sin salida.

¿Cuál es el factor más importante que esto podría tener (si no es primo)? Su raíz cuadrada, que es 105409.255338 o 105.409. Entonces uno de los factores debe ser <= 105,409. El otro, por supuesto, puede ser más grande. Entonces, si K no es un número primo, ¿qué hacemos?

Intento n. ° 2:
Tomemos un enfoque diferente. ¿Qué dígitos de unidades son necesarios para producir un último dígito de unidades de 1? Obviamente, un número podría terminar en 1 (x 1). Pero no 2. 3 (x 7). Pero no 4 o 5 o 6. 7 (x 3) pero ya tenemos eso. No 8. 9 (x 9).

Entonces, si K no es primo, entonces los dos factores DEBEN terminar en uno de estos y uno de los factores debe ser <= 105,409:
– 1 y 1
– 3 y 7
– 9 y 9

Interesante, pero eso no parece llevarnos mucho más lejos.

Intento n. ° 3:
Veamos si podemos probar cuadrados perfectos para resolver esto. Supongo que tenemos una calculadora básica disponible.

Lo que esto significa es si podemos encontrar un número N tal que | N ^ 2 – K | = un número que es un cuadrado perfecto, llámelo P. Porque entonces tiene una forma (a + b) (ab) que le dará los factores. Esa también es una buena idea, pero resulta que no hay nada alrededor de 105409 que le dé a uno una configuración cuadrada perfecta como esta. Por lo tanto, no es realmente un problema que deba resolverse a mano.

Conclusión:
Esta imposibilidad (a menos que uno pueda hacer factoraje mental) me dice que la respuesta debe ser: 1 y 11111111111. Eso, más el hecho de que esto es para CPA. Incluso si supieras cómo usar curvas elípticas para factorizar, esa no es una habilidad de nivel de CPA.

Puede haber otro enfoque para esto usando otros aspectos de la teoría de números. Los matemáticos profesionales podrían intervenir. Pero no hay forma de que los CPA sepan eso. La respuesta calculada, como señaló Jannie, muestra que el factor primo más pequeño es 21,649 (y notará que ambos factores terminan en 9). No hay forma obvia de sacar eso de un sombrero. El cuadrado de eso es 468679201, que tampoco es muy útil.

Finalmente, observe que la pregunta podría haberse hecho lo suficientemente fácil. 10 1 sería divisible por 11. 9 1 por 111. 8 1 sería divisible por 11 y 1111. Pero 11 1 (un número primo de 1) no es susceptible de división por otra serie de 1 sin dejar un resto (residuo )

21649 x 513239 = 11111111111

Editar: Para ser justos, no lo descubrí. ¡Solo busque en Google “Factor 11111111111” y obtendrá un enlace a Prime Factors Calculator!

En cada base [matemáticas] b [/ matemáticas], el número [matemáticas] (b ^ n – 1) / (b – 1) [/ matemáticas] escrito en la base [matemáticas] b [/ matemáticas] estará en el form [math] \ underbrace {11 \ ldots 1} _ {n \ text {“1”}} = 1_n [/ math].

  • Si [math] n [/ math] es un divisor de [math] m [/ math], entonces [math] 1_n [/ math] será un divisor de [math] 1_m [/ math].
  • Si [math] p = [/ math] prime, entonces cualquier factor potencial de [math] 1_p [/ math] tendrá la forma [math] 2kp + 1 [/ math].

Por lo tanto, los posibles factores de [math] 1_ {11} [/ math] serán de la forma [math] 22k + 1 [/ math], lo que significa menos divisiones de prueba hasta [math] \ sqrt {1_ {11} }[/matemáticas]. Entonces encontramos que

[matemáticas] 11111111111 = 21649 \ cdot 513239 [/ matemáticas]

Suma de dígitos 2. Entonces el número no es un cuadrado perfecto.

Comprobación básica: no divisible por 2,3,5,7,11 o 13 (12 divisibles por 3,7,11 y 13, por lo que este número no es divisible por ninguno de esos)

Hay al menos dos números que pueden dividir este número (si no es primo).

¡Incluso con la calculadora no se puede resolver en 5 minutos a menos que den opciones para elegir!

La respuesta que se me ocurrió instintivamente en aproximadamente dos segundos es 1. Me siento demasiado vago para ir más allá, pero no hace falta decir que cualquier número también es divisible por sí mismo.

¡Háganos saber cuál es la respuesta! 🙂

Al carecer de una calculadora, aún podríamos reducir las posibilidades. Se puede notar de inmediato que 3 no es un divisor de 11111111111. Por lo tanto, la búsqueda de divisores primos de 99999999999 da los mismos números que para 11111111111, excepto que obtenemos el divisor adicional 3. Equivalentemente, esto significa resolver 10 ^ 11 = 1 ( mod p), donde p es primo. Como a ^ (p-1) = 1 (mod p) (a menos que a sea un múltiplo de p), esto significa que 10 ^ (p-1) = 1 (mod p). Si p-1 y 11 son primos, entonces el algoritmo euclidiano generará enteros x e y, de modo que (p-1) x + 11y = 1, lo que haría 10 ^ ((p-1) x + 11y) = 10 ^ 1 (mod p), entonces 10 = 1 (mod p). Lo único satisfactorio principal sería 3, pero ya sabemos que esa no es la respuesta que estamos buscando. Esto significa que solo los primos del tipo 11n + 1 deben considerarse, y n debe ser par, por lo que, en realidad, solo los primos de la forma 22n + 1 deben considerarse.

– que ya está más allá de lo que se espera que un CPA sepa, y aún deja cientos de candidatos (de aproximadamente 5000 números del formulario 22n + 1 que son menores que sqrt (11111111111)), incluso si tenemos una lista de números primos (que no lo hacemos en el contexto de una prueba de coeficiente intelectual).

En efecto, necesitamos 10 para ser una potencia perfecta (2n) (mod 22n + 1). No es de extrañar que la respuesta real sea tan grande.

Entonces, al final, si bien esto reduce el tiempo de cálculo (para obtener un factor no trivial) en un 90%, el otro 10% aún es demasiado para pasarlo por la fuerza bruta.

Siendo un examen de contadores, diría que 1 debido a la falta de creatividad. Entrar en las divertidas respuestas lleva a una pregunta: ¿en qué sistema de números quieres la respuesta? Binario o Base10? Hay múltiples respuestas en ese punto …

1 y 11111111111

Miré y vi que solo 1 puede dividirse en 1 fácilmente. entonces, dependiendo de lo que la pregunta realmente pregunte, la respuesta ahora es 1 x la cantidad o solo 1

Por sí mismo y uno.

Esa es una prueba de inteligencia bastante tonta; Podría decir 1 y 11111111111 y estar en lo correcto. Pero si desea respuestas que no sean eso, requeriría más que buenas habilidades lógicas, que es lo que generalmente miden las pruebas de coeficiente intelectual.

11111111111

1

1

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