¿Por qué usamos límites en matemáticas? Educación te da un futuro mejor

El límite representa un paradigma de análisis de problemas produciendo un objeto que comparte cierta característica hasta cierto punto, pero que representa una pieza de información completamente diferente por sí mismo.

En la teoría de categorías, el límite de un diagrama tendrá flechas a cada objeto que conmuta con los morfismos de una manera obvia (para obtener más información, consulte la sección de conos en esta página). También se caracteriza suficiente y necesariamente por una propiedad universal. En el cálculo, hay una diferencia entre una función y su límite. De manera similar en la teoría de categorías, debemos hacer la distinción entre diagrama y límite.

Por otro lado, podemos hacer algunas cosas interesantes.

Supongamos que tenemos [math] R [/ math] un anillo Noetherian, [math] \ mathfrak {m} [/ math] un ideal de [math] R [/ math], y una breve secuencia exacta de [math] generados finitamente R [/ math] -módulos:

[matemáticas] 0 \ a A \ a B \ a C \ a 0 [/ matemáticas]

Si denotamos los morfismos [matemática] A \ a B [/ matemática] y [matemática] B \ a C [/ matemática] como [matemática] f [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] respectivamente, entonces [ matemática] f [/ matemática] es inyectiva y [matemática] g [/ matemática] es sobreyectiva. También tenemos un morfismo en cadena entre las filas cortas exactas de los módulos [math] R [/ math]:

[matemáticas] 0 \ a A \ a B \ a C \ a 0 [/ matemáticas]

[math] 0 \ a A / \ mathfrak {m} A \ a B / \ mathfrak {m} B \ a C / \ mathfrak {m} C \ a 0 [/ math]

donde los morfismos [math] A / \ mathfrak {m} A \ to B / \ mathfrak {m} B [/ math] y [math] B / \ mathfrak {m} B \ to C / \ mathfrak {m} C [/ math] se denotan [math] \ overline {f} [/ math] y [math] \ overline {g} [/ math] respectivamente. Definir [matemáticas] \ overline {f} (a + \ mathfrak {m} A) = f (a) + \ mathfrak {m} B [/ math] y [math] \ overline {g} (b + \ mathfrak {m} B) = g (b) + \ mathfrak {m} C [/ math]. Estos están bien definidos porque los morfismos de los módulos preservan la acción de [math] R [/ math]. La inyectividad de [math] \ overline {f} [/ math] sigue muy bien así:

Queremos mostrar que [math] \ overline {f} (a + \ mathfrak {m} A) = \ overline {f} (b + \ mathfrak {m} A) [/ math] implica [math] a + \ mathfrak {m } A = b + \ mathfrak {m} A [/ math]. Si [math] a + \ mathfrak {m} A \ neq b + \ mathfrak {m} A [/ math] entonces [math] a + r = b [/ math] donde [math] r [/ math] no está contenido en [math] \ mathfrak {m} A [/ math] (de lo contrario [math] a + \ mathfrak {m} A = b + \ mathfrak {m} A [/ math]). Pero esto significa que [math] f (r) [/ math] no está en [math] \ mathfrak {m} B [/ math] de lo contrario [math] \ overline {f} [/ math] no está bien definido. Pero ahora [math] \ overline {f} (a + \ mathfrak {m} A) + \ overline {f} (r + \ mathfrak {m} A) = \ overline {f} (b + \ mathfrak {m} A) [ / math] y [math] \ overline {f} (r + \ mathfrak {m} A) = 0 [/ math] según nuestra hipótesis. Esto es una contradicción (ya que implicaría que [math] r \ in \ mathfrak {m} A [/ math]). Por lo tanto, [matemática] \ overline {f} [/ matemática] es inyectiva.

La surjectivity de [math] \ overline {g} [/ math] es un juego de niños ya que ya conocemos la surjectivity de [math] g [/ math] (la simplicidad de este mapa de surjective también tiene que ver con la exactitud correcta de tomar el producto tensor de cierta manera).

Además, tenemos morfismos de cadena entre filas exactas de módulos [matemáticos] R [/ matemáticos] en este orden:

[matemáticas] 0 \ a A \ a B \ a C \ a 0 [/ matemáticas]

[math] 0 \ a A / \ mathfrak {m} A \ a B / \ mathfrak {m} B \ a C / \ mathfrak {m} C \ a 0 [/ math]

[matemática] 0 \ a A / \ mathfrak {m} ^ 2 A \ a B / \ mathfrak {m} ^ 2 B \ a C / \ mathfrak {m} ^ 2 C \ a 0 [/ matemática]

[matemática] 0 \ a A / \ mathfrak {m} ^ 3 A \ a B / \ mathfrak {m} ^ 3 B \ a C / \ mathfrak {m} ^ 3 C \ a 0 [/ matemática]

[matemáticas] … [/ matemáticas]

Esto se debe al argumento de que [math] A / \ mathfrak {m} A \ subset A / \ mathfrak {m} ^ 2A [/ math] y demás, lo que significa que los mapas son mucho más fáciles. En otras palabras, para cada [matemática] i [/ matemática] tenemos [matemática] 0 \ a A / \ mathfrak {m} ^ i A \ a B / \ mathfrak {m} ^ i B \ a C / \ mathfrak {m} ^ i C \ a 0 [/ matemáticas]. Además, según el lema 7.15 en Álgebra conmutativa de Eisenbud, tenemos:

[matemáticas] 0 \ to \ text {lim} _I A / \ mathfrak {m} ^ iA \ to \ text {lim} _I B / \ mathfrak {m} ^ iB \ to \ text {lim} _I C / \ mathfrak {m} ^ iC \ to 0 [/ math] es exacto.

Este resultado es especial porque el functor de límite inverso [math] \ text {lim}: \ mathcal {C} ^ I \ to \ mathcal {C} [/ math] generalmente es exacto a la izquierda en el mejor de los casos.

Para unirlo todo, cuando se trata con [math] \ mathfrak {m} [/ math] -filtración adica, los límites inversos que tomamos conservan una precisión corta, pero en general solo necesitan ser precisos. Ten cuidado con tus límites, niños.

¿Por qué son importantes? Bueno, este ejemplo específico solo está en el fondo de un concepto de álgebra conmutativa llamado completar un anillo. Eisenbud tiene una sección completa dedicada a explicar su utilidad (es bastante agradable). Pero los límites inversos son la idea unificadora detrás de los productos, retrocesos, ecualizadores, etc. Están en ese punto óptimo de estar conectados con la familia a la que están asociados, pero también son un solo objeto que representa una buena cantidad de información por sí solo. Hay otras nociones de límites, como el límite de una familia de esquemas. Esta idea se trata muy bien en The Geometry of Schemes de Eisenbud y Harris.