¿Cuál es el ejemplo de un conjunto con cardinalidad estrictamente entre el de los enteros y los números reales?

Answer 1

Si tal conjunto fuera de uso común de las matemáticas estándar y bien conceptualizado, tendríamos un nombre para él, y la Hipótesis Continua podría ser retirada. Tal como están las cosas, sabemos por el trabajo de Paul Cohen (1963, https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc…) que esta hipótesis (que hay un conjunto entre los dos) es independiente de ZFC.

Dicho esto, creo que todavía hay diversión extraña dentro de los límites de ZFC. El Axioma de elección es equivalente a unos pocos resultados extraños, uno de los cuales es el Teorema del buen orden. Esta idea aparentemente no controvertida dice que cada conjunto puede tener un orden total definido de manera tal que cada subconjunto no vacío tenga un elemento mínimo. ¡Ordenado! Pero, ¿cómo es ese orden para un conjunto tan familiar como los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math]? El “[math] \ le [/ math]” habitual no funciona aquí. Considere [math] (0,1] [/ math], que por definición no tiene menos elementos bajo el orden estándar …

Answer 2

El conjunto [math] \ omega_1 [/ math] de ordinales contables es un ejemplo de un conjunto con cardinalidad [math] \ aleph_1 [/ math] (el cardenal más pequeño mayor que [math] \ aleph_0 [/ math]). Si suponemos que la hipótesis Continuum es falsa ([math] \ aleph_1 <2 ^ {\ aleph_0} [/ math]), este es el ejemplo que está buscando.