¿Cómo puede un número infinitamente largo como la raíz cuadrada de 2 representar una longitud finita?

Answer 1

Estás confundiendo un número con una representación de ese número.

No hay nada “infinitamente largo” en la frase “la raíz cuadrada de dos”. Contiene cinco palabras.

No hay nada “infinitamente largo” sobre [math] \ sqrt {2} [/ math]. En mi monitor, se trata de un centímetro, más o menos.

No hay nada “infinitamente largo” sobre la hipotenusa de este triángulo rectángulo:

Cada uno de estos es una representación de “la raíz cuadrada de dos”.

Sí, la representación decimal [matemática] ^ * [/ matemática] de [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] tiene infinitos dígitos. ¿Y qué? La representación decimal de [math] \ frac 13 [/ math] también tiene infinitos dígitos, ¡pero dudo que se pregunte si [math] \ frac 13 [/ math] podría representar una longitud finita!

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[matemática] ^ * [/ matemática]: de hecho, cualquier representación de valor posicional basada en números enteros de [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] tiene infinitos dígitos. Por otro lado, [math] \ sqrt {2} = 10 _ {\ sqrt {2}} [/ math] …

Answer 2

Si intenta construir la representación decimal de la raíz cuadrada de dos, encontrará que cada dígito en la representación decimal ocupa, geométricamente, una décima parte de la longitud del dígito anterior; esto es (1 / k) para cualquier base k; de ahí que finalmente se llegue al número granulando divisiones más finas a lo largo de la recta numérica; el coeficiente está en el rango de 1 yk, por lo tanto, no expande mucho el número. Espero que esto ayude.

Answer 3

Estás confundiendo una representación decimal infinita con un número infinitamente grande.

1.111 … (1 para siempre) está entre 1 y 2. Como tal, puede ver fácilmente que el número tiene un valor finito. De hecho, este número es exactamente 1 y 1/9.

De hecho, 1.000 … (0 para siempre) es exactamente 1. Una representación decimal infinita no significa que el número sea de tamaño infinito.