¿Cuál es la raíz cuadrada del cuadrado de (-1)?

Answer 1

El cuadrado de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Hay dos raíces cuadradas de [matemáticas] 1 [/ matemáticas], y son [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Observe un hecho importante aquí: la cuadratura es una operación de muchos a uno, mientras que la raíz cuadrada es de uno a muchos, por lo que si cuadra algo y luego toma la raíz cuadrada, no necesariamente obtiene el valor con el que comenzó ( ¡aunque el valor con el que comenzó normalmente debería estar entre las soluciones válidas!).

La solución positiva, [matemática] 1 [/ matemática], también se denomina raíz cuadrada principal de [matemática] 1 [/ matemática], y se denota por [matemática] \ sqrt {1} [/ matemática] o [matemática] 1 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]. Pero la solución negativa, [matemáticas] -1 [/ matemáticas], es tanto una raíz cuadrada y una solución válida a la pregunta como se hizo.

Answer 2

En una notación simbólica inequívoca, parece estar preguntando por el valor de [math] \ sqrt {(- 1) ^ 2} [/ math]. Al resolver en orden, veremos el valor:

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1} [/ matemáticas].

La razón por la que se trata de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es porque a menos que el contexto indique que queremos que todas [matemáticas] x [/ matemáticas] sean [matemáticas] x ^ 2 = a [/ matemáticas], la notación [matemáticas] \ sqrt {a} [/ math] se refiere al número positivo cuyo cuadrado es [math] a [/ math]. Esto permite que [math] \ sqrt {\} [/ math] sea una función (es decir, que solo tenga un valor de salida para cualquier valor de entrada dado) y que no sea ambigua, al menos mientras conozca la convención. Y luego, usando esa convención, también puede denotar específicamente la otra solución de manera inequívoca.

Como señalan otras respuestas (pero ligeramente generalizadas), la función [matemáticas] f_n (x) = x ^ {2n} [/ matemáticas], para el entero [matemáticas] n [/ matemáticas], no es inyectiva (lo que significa que puede obtener al mismo valor de salida con más de un valor de entrada distinto). Lo que sucede cuando cuadras es que la salida no contiene información sobre si la entrada fue positiva o negativa. Si desea todos [matemática] x [/ matemática] de manera que [matemática] x ^ 2 = a [/ matemática], entonces su salida no es solo un número sino un conjunto de números.

Y si crees que la raíz cuadrada del cuadrado de [math] x [/ math] debería devolver [math] x [/ math] a su signo, entonces te animo a leer más sobre por qué una función tiene que ser inyectiva (en un dominio determinado) para ser invertible (en ese dominio) y por qué si no es inyectable en su dominio natural, debe restringir el dominio.

Para darle un ejemplo, qué valor de [matemática] x [/ matemática] satisface [matemática] \ sen x = 0 [/ matemática], y sin conocimiento previo de [matemática] x [/ matemática], ¿cómo podría saber qué es el “correcto”? En cambio, elijo uno “canónico” y luego uso mi conocimiento de [matemáticas] \ sin [/ matemáticas] y del problema en el que estoy trabajando para elegir el que necesito, si no es el canónico.

Answer 3

Leí mal la pregunta y respondí incorrectamente la primera vez. Vamos a darle otra oportunidad.

El cuadrado de -1 es 1. Entonces, estás preguntando cuál es la raíz cuadrada de 1.

Como sucede, hay dos números que, cuando se multiplican por sí mismos, hacen 1.

Los números son -1 y 1. Creo que todos los números positivos tienen esta característica de tener raíces positivas y negativas que suman cero.

Cuando comienzas a sumergirte en las raíces de los números negativos, terminas en un extraño mundo nuevo de números ‘complejos’ o ‘imaginarios’. Creo que los dos términos son intercambiables, aunque uno de ellos puede ser “preferido” sobre el otro, ahora.