Sabemos que las raíces serán complejas, así que dejemos que [math] z = a + bi = \ pm \ sqrt {\ frac {-1-i \ sqrt 3} {2}} [/ math] donde [math] a [ / math] y [math] b [/ math] son números reales.
Entonces podemos decir que [matemáticas] a ^ 2 + 2abi-b ^ 2 = \ frac {-1-i \ sqrt 3} {2} [/ matemáticas]
Entonces podemos equiparar partes imaginarias y reales para obtener un sistema de ecuaciones:
- [matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = \ frac {-1} {2} [/ matemáticas] (Real)
- [matemáticas] 2ab = \ frac {- \ sqrt 3} {2} [/ matemáticas] (imaginario)
Entonces, mediante la ecuación 2, obtenemos [math] a = \ frac {- \ sqrt 3} {4b} [/ math], que se puede sustituir en la ecuación 1 para obtener:
- ¿Cuál es la raíz cuadrada del cuadrado de (-1)?
- ¿Cómo puede un número infinitamente largo como la raíz cuadrada de 2 representar una longitud finita?
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] en un sistema de números cuaterniónicos?
- ¿Puedes evaluar la raíz cuadrada de 12 usando el método Newton Raphson?
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de 441?
[matemáticas] \ frac {3} {16b ^ 2} -b ^ 2 = \ frac {-1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] 3-16b ^ 4 = -8b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 16b ^ 4-8b ^ 2-3 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (4b ^ 2-3) (4b ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]
Entonces, [matemática] b = \ pm \ frac {\ sqrt 3} {2} [/ matemática] o [matemática] b = \ pm \ frac {i} {2} [/ matemática], sin embargo [matemática] b [ / math] es real, por lo que este último no es válido.
Luego sustituya en la ecuación 2 para encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas]:
[matemáticas] a = \ frac {- \ sqrt 3} {\ pm 4 \ frac {\ sqrt 3} {2}} = \ mp \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Entonces las soluciones son:
[matemática] z = \ frac {1- i \ sqrt 3} {2} [/ matemática] y [matemática] \ frac {-1 + i \ sqrt 3} {2} [/ matemática]