¿Cuáles son los datos interesantes sobre los matemáticos? Educación te da un futuro mejor

El público en general ve a los matemáticos como un grupo extraño de personas. En algunos aspectos, esto es cierto, pero la mayoría de las personas subestiman la diversidad (aunque, lamentablemente, no en el sentido de género o étnico) del grupo. En la historia de las matemáticas, ha habido muchos matemáticos fascinantes. Quiero hablar sobre algunas de estas personas, pero también quiero explorar algunos rasgos que la mayoría o todos los matemáticos comparten, además de señalar alguna historia interesante en el camino.

Primero, permítanme aclarar algo: las matemáticas son un campo vivo, que no consiste en hacer aritmética compleja ni nada por el estilo. Las matemáticas se caracterizan por unos pocos principios distinguidos, entre ellos están la abstracción, la generalidad, el rigor y la belleza. Sí, siento que las matemáticas son hermosas. Muchos matemáticos comparten este sentimiento. Desafortunadamente, no conozco una explicación sucinta de por qué yo y otros nos sentimos de esta manera. La mejor manera de demostrar la estética de las matemáticas, hacer que los no matemáticos se den cuenta de que el tema es al menos tanto arte como ciencia, es mostrándolos. Trataré de hacer brevemente eso presentando una de las pruebas más famosas y elegantes en matemáticas elementales.

Como probablemente sepa, la raíz cuadrada de dos [math] \ sqrt {2} [/ math] no es un número racional. Probaremos este hecho en el presente. Para hacerlo, asumiremos que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional, y mostraremos que sigue una contradicción. En otras palabras, mostraremos que el teorema es verdadero al mostrar que no puede ser falso. Este es un método de prueba común llamado prueba por contradicción, o reductio ad absurdum (“reducción al absurdo” en latín). Empecemos. Suponga que [math] \ sqrt {2} = p / q [/ math] para [math] p [/ math] y [math] q [/ math] enteros. Además, suponga que [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] no tienen factores comunes. (Si comparten factores, entonces puede simplificar la fracción). Al cuadrar la igualdad anterior y multiplicarla por [matemáticas] q ^ 2 [/ matemáticas] en ambos lados, vemos

[matemáticas] 2q ^ 2 = p ^ 2. [/ matemáticas]

Esto nos dice que [matemáticas] p ^ 2 [/ matemáticas] es par, porque es un múltiplo de dos. Además, [math] p [/ math] debe ser par, porque el cuadrado de un número impar es impar (¡pruebe esto!), Y los enteros son pares o impares. Como [math] p [/ math] es par, podemos escribir [math] p = 2r [/ math] para algún número entero [math] r [/ math]. Sustituyendo [matemática] 2r [/ matemática] por [matemática] p [/ matemática] en la ecuación anterior y distribuyendo el exponente, vemos

[matemáticas] 2q ^ 2 = 4r ^ 2, [/ matemáticas]

que simplifica aún más a

[matemáticas] q ^ 2 = 2r ^ 2. [/ matemáticas]

Es posible que ya haya notado algo: ¡esta es la misma situación que tuvimos antes! Aplicando el mismo argumento a [math] q [/ math] que hicimos para [math] p [/ math] antes, podemos mostrar que [math] q [/ math] debe ser par. Pero, si [math] q [/ math] es par, entonces [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son divisibles por dos, lo que contradice la suposición de que [math] p [/ math ] y [matemáticas] q [/ matemáticas] no compartieron factores. Concluimos que la raíz cuadrada de dos no debe ser un número racional, y se demuestra el teorema. (Tenga en cuenta que la mayoría de las personas, incluyéndome a mí, dicen que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional, porque no tenemos problemas filosóficos con los números reales, pero hay algunos que sugieren que esta prueba demuestra [math] \ sqrt {2} [/ math] no existe, porque prefieren que las matemáticas no incluyan los reales).

Si aún no lo había hecho, espero que haya tenido el placer de ver la elegancia de las matemáticas. Si desea ver más, le sugiero que haga referencia a las siguientes pruebas: la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos, la prueba de Cantor de que los números reales son incontables (su argumento diagonal) y la prueba clásica del teorema de Pitágoras. También te sugiero que sigas a algunos escritores matemáticos expertos en Quora. Con frecuencia hacen uso de su experiencia para demostrarlo. Entre los mejores coroanos activos se encuentran Alon Amit, Senia Sheydvasser, Daniel McLaury y Justin Rising. Por supuesto, estoy dejando a otras personas excepcionalmente talentosas.

Como puede ver, las matemáticas son realmente sobre la razón. En matemáticas, lo que realmente nos importa es el razonamiento, las pruebas, no los resultados, los teoremas. Si eso no fuera cierto, entonces podríamos simplemente asumir que la Hipótesis de Riemann es cierta y continuar con satisfacción, porque toneladas de evidencia heurística lo sugieren. Por supuesto, no haremos tal cosa, excepto en el sentido de que a lo largo de los años varios autores han mostrado una gran cantidad de resultados a partir de que la conjetura es un teorema. La matemática es fundamentalmente el estudio de la estructura. Comenzamos con un conjunto de axiomas, incluidas las reglas de inferencia (lógica), y deducimos teoremas. Los matemáticos desean rigor completo. Cada paso debe poder explicarse a fondo y formalizarse por completo. La mayoría de los académicos buscan una comprensión profunda, pero los matemáticos lo llevan quizás un paso más allá. Buscamos marcos formales totalmente rigurosos además de una comprensión intuitiva, etc.

A comienzos del siglo XIX, las matemáticas experimentaban una crisis fundamental. Nos dimos cuenta de que las ideas que subyacen a las matemáticas eran inadecuadas. Se produjo una gran cantidad de matemáticas brillantes, pero podría sorprenderle lo aparentemente simples que eran las cosas que se estaban discutiendo. En sus Principia Mathematica , Russell y Whitehead intentaron formular las matemáticas únicamente en términos de lógica. Famoso, los teoremas de incompletitud de Gödel mostraron que siempre habría problemas con tales sistemas. La teoría expuesta en PM (la abreviatura utilizada para los Principia Mathematica para evitar la confusión con la famosa obra de Newton del mismo nombre) ya era larga y ardua. Varios cientos de páginas se dedicaron a probar [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas], por ejemplo. Entonces, cuando Gödel no mostró un sistema consistente lo suficientemente poderoso como para hacer aritmética de números naturales podría probar todas las afirmaciones verdaderas sobre tal aritmética, estos esfuerzos pronto se detuvieron. Hoy, casi todas las matemáticas tienen como base la teoría de conjuntos. Solo necesitamos unos pocos axiomas sobre los conjuntos para llegar a la versión más común de la teoría de conjuntos utilizada hoy en día, Zermelo-Frankel con el Axioma de Elección (ZFC), y de eso obtenemos todo, desde la aritmética de los números naturales hasta la investigación moderna en matemáticas.

Bertrand Russell contribuyó en gran medida a las matemáticas en su tiempo, y aunque estamos en el tema de la crisis de los fundamentos, vale la pena mencionar la paradoja de Russell. La paradoja se puede enunciar de la siguiente manera. Deje que [math] S [/ math] es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. ¿Está [math] S [/ math] contenido en sí mismo? Supongamos que no lo fuera. Entonces, veríamos que según la definición de [math] S [/ math], debe contenerse. Sin embargo, si [math] S [/ math] estuviera contenido en sí mismo, entonces su definición misma sugeriría que no está contenido en sí mismo. Una versión alternativa de esto es la paradoja de Barber. Digamos que hay una ciudad con un barbero. El barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos y solo a esos hombres. ¿El barbero se afeita? Si se afeitaba, no podía decirse que se afeitara solo a aquellos hombres que no se afeitaran. Sin embargo, si no se afeita, debe afeitarse, porque afeita a todos los hombres que no se afeitan. Esta paradoja condujo a la formulación de la teoría de conjuntos ZFC, que mencionamos antes. Zermelo relajó un axioma en la teoría de conjuntos que decía que cualquier colección de la forma “los objetos tales que [math] \ varphi [/ math] tiene”, donde [math] \ varphi [/ math] es una condición, es un conjunto. (La letra griega phi se pronuncia “fi”). Al relajar este axioma, podríamos resolver la paradoja simplemente diciendo que [math] S [/ math] no es un conjunto en absoluto. (En extensiones de ZFC, como la teoría de conjuntos NBG, llamamos a [math] S [/ math] una clase adecuada). Hay otras resoluciones a esta paradoja, sobre todo la teoría de tipos, donde los conjuntos ya no son los objetos básicos.

Como resultado, gran parte de los fundamentos de la teoría de conjuntos (y, por lo tanto, las matemáticas) se trata de decidir qué conjuntos de cosas llamar conjuntos.

Pocas personas están dispuestas a pasar horas, semanas o incluso años pensando en nociones abstractas sin una aplicación aparente a los “problemas del mundo real”. Incluso menos están felices de hacerlo. Esas personas se llaman matemáticos puros. Algunos de ellos incluso se enorgullecen de la aparente inutilidad de su trabajo. El matemático brillante del siglo XX, GH Hardy, se sintió famoso de esta manera. Irónicamente, su campo de la teoría de números llegó a ser de gran utilidad para los informáticos. Gran parte de la seguridad informática moderna utiliza las mismas ideas maravillosas que Hardy pasó su vida reflexionando. (Hardy también pensó que las matemáticas se referían a la belleza, que era un arte, como espero que ahora puedan apreciar. Esto y más se explica en su Apología de un matemático ).

Hay quienes tenemos interés en la aplicación, por supuesto. Llamamos a estos hombres y mujeres “matemáticos aplicados”. Son interesantes de la misma manera que antes, excepto que piensan en nociones abstractas y resuelven problemas increíblemente difíciles con la intención de comprender asuntos del mundo físico y social, y tal vez incluso aplicar eso. comprensión para hacer cosas útiles. Durante mucho tiempo, los matemáticos han estado involucrados en otros esfuerzos intelectuales; sin embargo, algunos de estos intereses secundarios, por ejemplo, la física, aparecen con más frecuencia que otros. (Algunos matemáticos incluso piensan que las matemáticas y la física son inseparables o están fuertemente vinculadas). En el año 2016, las disciplinas académicas se especializan hasta el punto de que pocas logran producir investigaciones de calidad en más de un campo. Por otro lado, la investigación interdisciplinaria se ha vuelto cada vez más común y fructífera. En particular, las matemáticas y la física han disfrutado de una rica conexión de varios tipos en los últimos años. El físico Edward Witten incluso ganó la Medalla Fields, uno de los premios más prestigiosos, si no el más importante, en matemáticas, a menudo comparado con el Premio Nobel (con la advertencia de que los destinatarios deben tener menos de cuarenta años).

Para terminar, me gustaría proporcionar pequeños fragmentos de información biográfica sobre varios matemáticos. Para mi propia pereza, mantendré las cosas muy cortas. Comenzaré con tres matemáticos increíblemente famosos: Évariste Galois, Alexander Grothendieck y Paul Erdős.

Galois es famoso entre los matemáticos por revolucionar el álgebra al introducir la teoría de grupos para proporcionar una segunda prueba del teorema de Abel-Ruffini (la quintica no tiene una fórmula general en radicales) entre otras cosas, pero las circunstancias en torno a su trabajo son realmente notables. La mayoría de los matemáticos incluso saben un poco sobre ellos. El joven Galois tuvo problemas para encontrar un lugar en el mundo de las matemáticas. Su trabajo había sido rechazado varias veces, y no fue reconocido hasta después de su muerte. Incluso fue arrestado en algún momento. Finalmente, una disputa relacionada con un interés amoroso llevó a Galois a encontrarse en un duelo. La noche anterior al evento, garabateó en su cuaderno lo que pudo de sus pensamientos sobre lo que se llamaría teoría de Galois. La presentación no fue pulida, en gran parte porque pensó que iba a morir. (Cabe señalar que había escrito antes de esta noche, pero no había terminado). Al día siguiente, Galois fue herido de muerte a los veintiún años.

Alexander Grothendieck es sin duda uno de los matemáticos más notables del siglo XX. Incluso puede estar en disputa por el mejor de todos los tiempos. Su trabajo en geometría algebraica revolucionó no solo ese campo, sino también las matemáticas en su conjunto. Grothendieck también era un pacifista radical, y dejó su hogar académico en IHES al enterarse de que fue financiado en parte por el ejército. En 1991, Grothendieck se mudó a un pequeño pueblo al pie de los Pirineos para convertirse en ermitaño. Habiéndose autoexiliado a sí mismo, proporcionó pocos detalles a antiguos amigos y colegas de la comunidad matemática. Grothendieck no escuchó mucho hasta que escribió una carta indicando que cualquier obra escrita por él publicada desde su salida de la sociedad debería ser retirada de circulación, ya que no había dado su permiso, y no deseaba que los documentos se publicaran en adelante o traducido. Incluso hasta el día de hoy, la falta de copias de alta calidad de EGA, SGA y otros documentos en inglés es un problema. Afortunadamente, los .pdfs franceses están disponibles gratuitamente en línea.

En cuanto a Erdős, todo lo que diré es que el hombre tenía una personalidad interesante, quizás en parte debido a su uso frecuente de anfetaminas. Había desarrollado un vocabulario único (por ejemplo, llamar a los niños “épsilones”), y muchas cosas sobre él parecían un poco extrañas, por ejemplo, la forma en que hablaba de El libro. A pesar de esto, fue uno de los matemáticos más productivos y colaborativos de todos los tiempos.

Ha habido innumerables matemáticos a lo largo de los años. No todos ellos son tan famosos o tan alejados de la norma como los tres discutidos anteriormente. Como resultado, muchos matemáticos tienen personalidades apropiadas para entrenadores de béisbol, escritores o cualquier otra ocupación más típica. Hay muchos matemáticos con algo único sobre ellos. Dos conocidos estudiantes universitarios del MIT (tanto en general como en Quora), Evan Chen y Sanath Devalapurkar, tienen antecedentes matemáticos y jóvenes extraordinarios, por ejemplo. Y, ser matemático en sí mismo es bastante único, pero aquellos que hacen matemáticas vienen en todas las formas y tamaños. Los dos miembros de la facultad en mi escuela con quienes he tenido la mayor interacción, uno es un teórico de números sénior que es muy conocido y el otro un joven teórico de geometría algebraica y teórico de números que pronto lo serán, ambos son brillantes, incluso para los estándares matemáticos. . Ambos tienen cualidades notables, y ambos son personas normales que comparten muchas cualidades entre sí pero que difieren en muchos aspectos. Hay muchos datos interesantes sobre los matemáticos, tanto como una colección como como individuos. Sin embargo, es una pena que solo los más famosos entre nosotros escuchen sus historias. Estoy seguro de que hay algunas historias realmente interesantes sobre investigadores menos conocidos para ser escuchados.