¿Cuál es una buena manera de estimar cuántos dígitos hay en un número de la forma 2 ^ n en mi cabeza?

Redondea [matemática] ([/ matemática] [matemática] n * 0.3 [/ matemática] [matemática]) [/ matemática] al siguiente entero.


Deje [matemáticas] y = 2 ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] => \ log y = \ log (2 ^ n) = n * \ log 2 = n * (0.301) [/ matemáticas]

[matemáticas] => y = 10 ^ {n * 0.301} [/ matemáticas]

Ahora, [matemática] 10 ^ 2 [/ matemática] tiene 3 dígitos, [matemática] 10 ^ 3 [/ matemática] tiene 4 dígitos, y como hemos convertido y de [matemática] 2 ^ n [/ matemática] a una forma de [matemática] 10 ^ m [/ matemática], podemos decir que el número de dígitos en [matemática] 2 ^ n [/ matemática] es
* el entero más cercano arriba [matemáticas] (n * 0.3) [/ matemáticas] *

Por ejemplo, para n = 9, [matemática] 2 ^ n = [/ matemática] 512 => 3 dígitos.

Con nuestra estimación y aproximación de [math] log2 = 0.3 [/ math], obtenemos round (9 * 0.3) = round (2.7) = 3

Según mi comparación de Número de dígitos de dos potencias n realizada en Hojas de cálculo de Google, esto parece mantenerse con precisión hasta n = 100.

Yo uso la aproximación:

[matemáticas] 2 ^ {10} \ aproximadamente 10 ^ 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto, cada diez en el exponente de 2 te da tres dígitos decimales, más uno.

Por ejemplo, considere [matemáticas] 2 ^ {35} [/ matemáticas]:

[matemáticas] 2 ^ {35} = 2 ^ 5 \ veces2 ^ {3 \ veces10} \ aprox 32 \ veces10 ^ {3 \ veces3} [/ matemáticas]

[matemática] \ aprox 32 \ veces 10 ^ 9 [/ matemática] – once dígitos.

El valor real es [matemática] 34359738368 [/ matemática].

Usas el hecho de que 2 ^ n = 1024, aproximadamente 1000.
Divide n entre 10. Obtendrás Número con un número entero y 1 decimal. Multiplica la parte del número entero por 3. Luego, para la parte decimal si es 0,1,2,3, suma 1. Si 4,5,6 suma 2. 7,8,9 suma 3.

Entonces 512 es 2 ^ 9. Entonces eso da 0.9. 0 * 3 = 0 y para el .9 agregue 3, entonces 3 dígitos.

1024, n = 10, entonces 1.0. 1 * 3 = 3. Para .0 agregue 1 = 4 dígitos.

32768 – n = 15. Entonces 1.5. 1 * 3 = 3. Para .5 agregue 2, entonces 5 dígitos.

Esta regla funciona hasta números bastante altos.