No, la decidibilidad rara vez es una preocupación en matemáticas. Casi siempre podemos suponer que cada declaración es decidible, ya sea verdadera o falsa. Las declaraciones indecidibles casi siempre se estudian porque son indecidibles, no porque quisiéramos conocer la solución, y luego descubrimos que era indecidible. Las ramas donde este es un tema importante son la teoría computacional (teoría de la computabilidad, problemas de decisión) y los fundamentos de las matemáticas (lógica formal, teoría de conjuntos). Muchos problemas pueden formularse de manera equivalente en estas diferentes ramas.
El ejemplo más famoso de una declaración indecidible estudiada por esa razón específica es el teorema de Godel (en lógica), o el problema de detención casi equivalente (en teoría de computabilidad). Hay muchos más.
Ha habido algunos problemas que surgieron en otra investigación matemática, y luego resultaron indecidibles. Por ejemplo, la hipótesis del continuo, el problema verbal de Dehn y el décimo problema de Hilbert (googlearlos). Ninguno tiene nada que ver con la idea normal de matemática de un laico.
Algunas conjeturas famosas en matemáticas “normales” pueden ser indecidibles, pero eso no se ha decidido, y en mi humilde opinión es poco probable. Ejemplo, la conjetura de Goldbach.
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Se muestra que una declaración es indecidible solo dentro de algún sistema axiomático específico. Cuando los matemáticos se topan con eso, la respuesta habitual es agregar axiomas apropiados para hacerlos decidibles. Un ejemplo famoso sería el quinto postulado de Euclides, cuya indecidibilidad estimuló la creación de geometría no euclidiana. Esta es otra razón por la que la indecidibilidad rara vez es un problema en las matemáticas regulares. Simplemente “lo decidimos por la fuerza”, agregando nuevos axiomas según corresponda.
En pocas palabras: la indecidibilidad casi siempre se estudia solo por su propio bien, para ayudar a comprender las raíces profundas de las matemáticas. La mayoría de los matemáticos nunca tienen nada que ver con estos problemas.