Refiriéndose a Wikipedia, ¿por qué un rango debería convertirse en el subconjunto de un codominio? ¿Por qué los matemáticos deben distinguir un codominio de rango?

Answer 1

Porque necesitamos ambos conceptos en diferentes situaciones.

Por ejemplo, supongamos que quiero hablar sobre una función genérica de valor real de una sola variable; entonces quiero poder decir [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math], aunque en realidad no conozco por adelantado el rango de [math] f [/ math ]

Más importante aún, me gustaría hablar sobre todas esas funciones, o algún subconjunto de ellas (por ejemplo, continua, diferenciable, integrable, incluso, monótona, etc.). Ahora no solo no hay razón para especificar el rango de cada función, ¡es imposible !

Por otro lado, supongamos que quiero hablar sobre la composición de dos funciones [matemáticas] g \ circ f [/ matemáticas]. En ese caso, necesito saber el rango de [math] f [/ math], porque debemos tener ese [math] \ text {Range} (f) \ subset \ text {Domain} (g) [/ math] . Conocer un codominio no es necesariamente lo suficientemente útil.

Answer 2

Desafortunadamente, diferentes autores usan el término “rango de una función” [matemática] \, f: S \ to T [/ matemática] de diferentes maneras. Para algunos, es el codominio [math] T [/ math]; para otros es la imagen [math] f (S) [/ math].

Para ilustrar la diferencia, considere la función [math] \, f: \ mathbf R \ to \ mathbf R [/ math] definida por [math] f (x) = x ^ 2 [/ math]. El codominio de [math] \, f [/ math] es todo [math] \ mathbf R [/ math], mientras que la imagen de [math] \, f [/ math] consiste solo en los números reales no negativos. El codominio es distinto de la imagen.

Para algunas funciones, es difícil determinar la imagen, pero el codominio es claro para empezar. Considere la función definida por [matemática] \, f (x) = x ^ x [/ matemática] para [matemática] x> 0 [/ matemática]. Claramente, [math] \, f (x) [/ math] es un número real, por lo que todo [math] \ mathbf R [/ math] puede tomarse como codominio. Pero, ¿qué números [matemática] y [/ matemática] aparecen como [matemática] x ^ x [/ matemática] para algunos positivos [matemática] x [/ matemática]? Resulta que la imagen de esta función es el intervalo [matemáticas] [\ frac1e, \ infty) [/ matemáticas], que puede determinar con la ayuda del cálculo.

No sé sobre la historia del uso de la palabra “rango”, pero de hecho, se usa de ambas maneras. Por esa razón, no lo uso si puedo evitarlo. Pero si un libro de texto lo usa de una manera en una clase que estoy enseñando, usaré la definición en el libro de texto y explicaré que a veces la palabra se usa de otra manera.