¿Por qué no podemos resolver la integral de la raíz cuadrada de x2 + 1 usando el teorema fundamental del cálculo? ¿Por qué no puedo usar el método de sustitución?

De acuerdo, la pregunta es más clara ahora. Puedo escribir una solución para ti.

Lo que debes entender es que el Teorema fundamental del cálculo solo te permite escribir una integral definida como la diferencia de los antiderivados. No es realmente útil aquí.

Además, si ya ha aprendido la integración por partes y el método de sustitución, debe comprender que el primero NO es un método de integración completamente nuevo. Es literalmente lo mismo que una sustitución, excepto que se usa en el contexto de una fórmula única derivada de la regla del producto. No son dos cosas diferentes. Son uno y lo mismo. La integración por partes solo le permite integrar una variedad más amplia de funciones, pero inherentemente, sigue siendo un método basado en la sustitución.

Ahora, su problema puede resolverse mediante sustitución y mediante la integración por partes. Demostraré cómo es eso de la siguiente manera. Recordemos que la integral que queremos determinar es;

Ahora, voy a usar primero la siguiente sustitución;

Ahora, podemos sustituirlo de nuevo en nuestra integral y obtenemos la siguiente integral;

Ahora, lo que haré es usar la integración por partes. Usaré las siguientes sustituciones;

Ahora, usaré la fórmula para integrar por partes y es;

Por lo tanto, mi nueva integral es;

Ahora, esto puede parecer mucho más complicado de lo que inicialmente queríamos, pero permítanme hacer la siguiente manipulación;

Si te das cuenta, tenemos a I en el lado derecho para que podamos resolver por I. Esto nos da;

Ahora, para encontrar esa última integral, podemos hacerlo por partes o usar una sustitución más oscura. Como el camino ‘por partes’ es más obvio, lo haré por el camino más oscuro. Usaré la siguiente sustitución;

Ahora, ¿pueden ver que podemos hacer la integral con bastante facilidad ahora? La integral va a ser el logaritmo natural de u. Ahora, podemos escribir I sin integrales;

Ahora, dado que comenzamos este cálculo con la variable x, es apropiado que escribamos la integral inicial en términos de esa variable. Podemos hacerlo recordando la sustitución inicial que usamos antes para theta. Eso debería darnos el siguiente resultado;

Por lo tanto, esa es la integral que queríamos 🙂