Sí, el “postulado paralelo”. El cual es un excelente término de búsqueda para aprender más.
Pero un poco de contexto de “panorama general” podría ser útil.
TLDR: Los sistemas axiomáticos son las reglas de los diferentes juegos que juegan los matemáticos. Cambia las reglas (los axiomas) y obtienes diferentes juegos. Algunos son aburridos de jugar; algunos no lo son. Cualquier parecido con la realidad física es pura coincidencia.
En última instancia, todas las matemáticas se basan en axiomas. Para la geometría plana, estos son los axiomas de Euclides. Para la aritmética, el equivalente es probablemente los axiomas de Peano. Para la combinatoria, son los axiomas de la teoría de grupos. Y así.
- ¿Todas las personalidades de renombre en matemáticas han sido brillantes en matemáticas desde su infancia? Si una persona no es buena en matemáticas, ¿puede llegar a ser como esos matemáticos? ¿Es necesario ser muy entusiasta de las matemáticas desde la infancia?
- Refiriéndose a Wikipedia, ¿por qué un rango debería convertirse en el subconjunto de un codominio? ¿Por qué los matemáticos deben distinguir un codominio de rango?
- ¿Los matemáticos modernos alguna vez miran las matemáticas de los pueblos antiguos (especialmente las civilizaciones no europeas) y encuentran nuevas ideas sobre las matemáticas?
- ¿Cuáles son algunos hechos sobre S. Ramanujan?
- ¿Cómo explican los científicos el genio de Ramanujan?
Si estos axiomas están bien escritos, entonces son independientes. Lo que significa que no puedes probar ninguno de ellos usando solo los otros. Por ejemplo, no podemos probar el postulado paralelo de los demás.
Por lo tanto, podemos descartar cualquier axioma, o asumir su opuesto, y la teoría resultante seguirá siendo coherente, es decir, no podemos usarla para demostrar que 1 = 2 o algo así. Porque si pudiéramos obtener una contradicción suponiendo que el axioma era falso, podríamos demostrarlo a partir de los otros axiomas (es decir, una prueba por contradicción).
Por lo tanto, es bastante interesante pasar por los sistemas de axiomas existentes y asumir lo contrario de uno o más de ellos. A menudo (generalmente) no obtienes nada interesante. En el caso de asumir diferentes formas para el axioma paralelo, se obtienen las teorías espectacularmente interesantes para la geometría esférica e hiperbólica. Lo mismo sucede en otros sistemas axiomáticos.
Ninguno de estos conjuntos de axiomas es más “real” que cualquier otro conjunto de axiomas consistentes. Algunos de ellos modelan algo interesante, y otros modelan cosas de las que tenemos una noción intuitiva (como la geometría plana). Pero ninguno es más correcto o menos correcto que cualquier otro sistema axiomático consistente.