¿Los axiomas básicos en matemáticas son empíricos?

Answer 1

Diría que los axiomas se eligen sin ningún requisito de que tengan alguna conexión con ninguna realidad física, mucho menos con cualquier observación de esa realidad. Pero el hecho de que no necesiten tener esa conexión no significa que ninguno de ellos lo tenga.

Considere los tres axiomas de probabilidad para un ejemplo. En estos tres axiomas (junto con los axiomas estándar de la teoría de conjuntos), se construye la teoría de probabilidad. El primer axioma dice que cada evento tiene una probabilidad no negativa. Como a menudo deseamos utilizar eventualmente la teoría para describir nuestra noción de “probabilidad de que se observe algo físico”, este axioma refleja nuestra convención de que los números positivos describen cantidades físicas medibles observables. Podría encontrar una teoría de la probabilidad matemáticamente razonable basada en un axioma de que cada evento tiene una probabilidad no positiva con la misma facilidad, pero que el axioma no es el que la gente decidió usar.

El segundo axioma dice que la probabilidad de que ocurra ALGUNO resultado es siempre uno. El número uno se elige únicamente por conveniencia como base para una báscula. Usamos uno para representar certeza. Podríamos usar [math] 100 [/ math] o [math] \ pi [/ math] o [math] \ sqrt 2 [/ math]. Nada importante cambiaría, pero sería un poco menos natural para la mayoría de las personas interpretar la respuesta a una pregunta si se usara algún otro número positivo, por lo que uno es una opción natural. Sin embargo, de ninguna manera significativa, es empírica.

El tercer axioma es el de la aditividad contable. Este axioma ciertamente refleja nuestra experiencia con la forma de combinar probabilidades, por lo que lo llamaría empírico. Si tuviera que tirar repetidamente un dado justo, encontraría que parece ver que cada una de las seis caras se produce con una frecuencia aproximadamente igual. Por lo tanto, tiene sentido que vea “una cara con un número impar” unas tres veces más a menudo que cualquier cara en particular porque hay tres de esas caras. El tercer axioma hace que este tipo de comportamiento sea un REQUISITO para que cualquier modelo de probabilidad sea válido.

Las distribuciones de cuasiprobabilidad relajan el primero y el tercero de estos axiomas (es decir, los dos que son básicamente empíricos), y todavía arroja una teoría matemática interesante. Y aunque esta teoría no se usa tan fácilmente para describir el lanzamiento de dados y el lanzamiento de monedas, funciona maravillosamente para describir cierto comportamiento mecánico cuántico.

Answer 2

Nos gusta que nuestras matemáticas hagan algo útil o interesante. En ese sentido, las definiciones que utilizamos, incluidos los axiomas fundamentales, son empíricas: apelan a cierto sentido humano. Pero de otro modo no están conectados a la realidad empírica.

Tomemos, por ejemplo, un axioma auto-referencialmente fundacional de la teoría de conjuntos ZF: el Axioma de la regularidad, también conocido como el Axioma de la Fundación. Aquí está en todo su esplendor expresado en la lógica de primer orden:

[matemáticas] \ quad \ forall x (x \ neq \ emptyset \ Rightarrow \ exist y \ in x (y \ cap x = \ emptyset)) [/ math]

Es decir, cada conjunto no vacío tiene un elemento cuya intersección con el conjunto original está vacía. Una consecuencia de este axioma es que un conjunto no puede ser un elemento en sí mismo. El axioma se introdujo para evitar consecuencias desagradables de la ingenua teoría de conjuntos, como la paradoja de Russel. Tal elección es, en cierto sentido, empírica, ¡pero no se utiliza evidencia empírica para hacerlo!

Como con todas las cosas matemáticas, podemos elegir no adoptar un axioma y ver qué obtenemos. En este caso, obtenemos la teoría de conjuntos no bien fundada. Quizás no sea tan útil o interesante como ZF, pero es perfectamente viable.

A menudo, incluso puede adoptar axiomas que están en contradicción directa con otros axiomas posibles, como el Axioma de Playfair con respecto al número de líneas que se pueden dibujar paralelas a una línea dada a través de un punto que no está en la línea. Usar One (para obtener Geometría Euclidiana) está claramente en contradicción directa con el uso de Zero (que da una Geometría Esférica igualmente viable). Cualquiera de las dos puede ser empíricamente cierto y a las matemáticas realmente no les importa.

Answer 3

Respuesta corta: a veces.

Hablemos de geometría. Por favor, compruebe los axiomas y postulados de Euclides en las piezas de referencia en el espacio. Creo que encontró ‘ Primer axioma : las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí’. Bastante empírico.

En realidad, los matemáticos siempre los consideran empíricos y obvios, excepto el Quinto Postulado. Así que intentaron demostrarlo y encontraron algunas cosas interesantes como la geometría hiperbólica – Wikipedia

Answer 4

Sí, pero no de la forma en que piensas.

Partieron del empirismo y hablan de cosas empíricas. Sin embargo, una vez que están “axiomatizados”, el empirismo se detiene.

Las matemáticas definen objetos con reglas. Definimos las reglas y las llamamos axiomas.

Hacemos esto en la programación todo el tiempo, cuando decimos algo que queremos objetos que puedan hablar, y los llamamos ISpeaker. Entonces podemos crear instancias de perro que dice “ladrar” y gato dice “miau”.

Esto nos permite trabajar en la programación con “cosas que actúan como objetos”. Las matemáticas son las mismas en este sentido.

Ejemplos de axiomas en la teoría de grupos son los objetos que tienen una operación de multiplicación, elementos inversos y donde la operación de multiplicación es asociativa. Eso define los axiomas para un grupo. Luego encontramos cosas que actúan como grupos.

Asumiré, ya que la mayoría está familiarizada con Zermelo-Fraenkel, esa es la Matemática Fundamental a la que te refieres.

Los axiomas básicos de las matemáticas hacen esto, pero con un objeto llamado conjunto. Cualquier cosa que actúe como nuestra definición de conjunto encajaría en los axiomas que definimos para ellos. Esto significa que los conjuntos actúan de acuerdo con los requisitos de Zermelo-Fraenkel.

Entonces, esto es lo que quiero decir cuando digo que las cosas son empíricas:

1. Definimos reglas según los objetos de los que estamos acostumbrados a hablar o los juegos a los que estamos acostumbrados. El juego y el objeto original pueden originarse al describir algo empírico.
2. Luego encontramos otras cosas que siguen estas reglas. Ese es el otro ejemplo de algo empírico.

Sin embargo, nada de esto cambia las reglas (axiomas). Incluso si encontramos un ejemplo donde un objeto no sigue las reglas, entonces dejamos de llamarlo ese objeto. Las implicaciones de las reglas no cambian, pero la clasificación del objeto sí.

Las matemáticas son solo acerca de las implicaciones de esas reglas. Si no sigues las reglas, no obtienes las mismas matemáticas.

Ahí es donde entran las ciencias y las observaciones. ¿Qué reglas sigue tu fenómeno?

Answer 5

Algunos de los axiomas actuales reflejan el sentido común, otros son construcciones refinadas, donde se ha aplicado mucho afeitado y modelado para llegar a un conjunto consistente, libre de contradicciones internas y fácil de trabajar para el matemático que trabaja.

En resumen, los objetivos son

• proporcionar una base de trabajo para las matemáticas existentes y futuras
• consistente (libre de contradicciones)
• Fácil de trabajar con

El sistema actual ZFC (Zermelo-Fraenkel y Axiom of Choice) no está completo, y no es finito, en contraste con la base axiomática de geometría de Euclides.

Pero juzga por ti mismo. Aquí está mi cuenta personal de Zermelo-Fraenkel + Axiom of Choice, un poco despojado de formalidades para que sea legible, al menos. Y a expensas de omitir una serie de definiciones que formalmente necesitarías seguir leyendo …

Los objetos de la teoría son conjuntos . No explicamos qué son los conjuntos, la única relación entre los conjuntos es la relación de elementos [math] \ in [/ math]

Axioma 1: dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos ([matemática] x \ en A [/ matemática] si y solo si [matemática] x \ en B [/ matemática])

Axioma 2: hay un conjunto sin elementos (“conjunto vacío”, denotado por [math] \ emptyset) [/ math]

Axioma 3: (Operación de emparejamiento) Para todos los conjuntos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] hay uno y solo un conjunto [matemática] X [/ matemática] con elementos [matemática] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas].

Axioma 4: (Unión) Para cada sistema de conjuntos hay un conjunto que tiene exactamente esos conjuntos como elementos, que pertenecen a al menos uno de los conjuntos del sistema dado.

Axioma 5: (selección de elementos) Para cada predicado [matemática] A (z) [/ matemática] y cada conjunto [matemática] X [/ matemática] los elementos de [matemática] X [/ matemática] para los cuales [matemática] A (z) [/ math] contiene un conjunto.

Definir un subconjunto [matemática] Y [/ matemática] de un conjunto dado [matemática] X [/ matemática] como un conjunto con la propiedad de que todos los elementos de [matemática] Y [/ matemática] son ​​elementos de [matemática] X [/ matemáticas].

Axioma 6: Para cada conjunto [matemático] X [/ matemático] existe el conjunto [matemático] Y [/ matemático] con elementos de todos los subconjuntos de [matemático] X [/ matemático]. Se llama el conjunto de potencia [math] \ mathbb {P} (X) [/ math] de [math] X [/ math].

Aquí define conjuntos inductivos (la base para las pruebas por inducción completa). Un conjunto inductivo es un conjunto [matemático] N [/ matemático] con las propiedades:

1. [matemáticas] \ conjunto vacío \ en N [/ matemáticas]
2. para todos [math] y \ en N [/ math] la unión de [math] y [/ math] y [math] \ {y \} [/ math] es un elemento de [math] N. [/ math]

Axioma 7: existe un conjunto inductivo.

A partir de aquí, comienza a probar los axiomas de los números naturales, incluida la inducción completa como teoremas en esta configuración. Tenga en cuenta que el conjunto de números naturales se define como el conjunto inductivo mínimo único .

Axioma 8: (Regularidad) Para cada cadena [math] \ dots x \ in y \ in z \ dots [/ math] de elementos de un conjunto dado hay un primer elemento (es decir, la cadena nunca se extiende indefinidamente hacia la izquierda) .

Históricamente, esta fue una de las soluciones a la crisis fundamental a principios del siglo XX, causada por la paradoja de Russell .

Y finalmente el celebrado

Axioma 9: (Axioma de elección) para cada función [matemática] X [/ matemática] (se definirá en una configuración completa) con el dominio [matemática] I \ ne \ emptyset [/ matemática] tal que [matemática] \ text { para todos} \, i \ en I \, X (i) \ ne \ emptyset [/ math] hay una función [math] x [/ math] con dominio I tal que [math] \ text {para todos} \ , i \ in I \, \ text {la relación} \, x (i) \ in \, X (i) \ text {contiene} [/ math]

(es decir: puede seleccionar de cada conjunto de un sistema de conjuntos un elemento y recopilarlos en un nuevo conjunto).

Answer 6

Diría que no son realmente empíricos, aunque tal vez sea una pregunta un poco resbaladiza.

Hay un punto de vista en la filosofía de las matemáticas que piensa que las matemáticas y la ciencia se desarrollan juntas. Es la combinación de la teoría física y los fundamentos matemáticos lo que (desde este punto de vista) tiene éxito o falla como un paquete. Si lo miras de esta manera, entonces lo ves como algo empírico.

Sin embargo, creo que incluso las personas que piensan en estas líneas admitirán que, en general, las matemáticas intentan no ser parte de la teoría que se “prueba”. En general, es extremadamente poco especulativo. Casi todas las matemáticas que ves se pueden hacer con suposiciones relativamente pocas y débiles. Escribimos muchas cosas que en la superficie tienen que ver con conjuntos infinitos, pero muchas de ellas pueden codificarse aritméticamente. Si alguien escribe un sistema de ecuaciones que se supone que describe cómo funciona un fenómeno, hace predicciones basadas en ellas, las prueba y descubre que la naturaleza no funciona así, básicamente no hay duda de que es la teoría física la que fue el problema, o bien un error cometido por ellos, y no los axiomas por los cuales inferían las propiedades de sus ecuaciones. “Si dejo de asumir el axioma del infinito, tal vez mi teoría aún podría ser correcta” no se tomará en serio. Las matemáticas están allí en un papel de apoyo, y algo sale mal con una teoría física, es mejor que no sea porque las matemáticas estaban mal.

Los axiomas matemáticos que las personas usan se encuentran conceptualmente en algo similar a un pequeño jardín cuidadosamente aislado de la posibilidad de tener que prestar atención al mundo físico o tener implicaciones físicas propias. Cualquiera sea el proceso que tengamos en cuenta, creo que, en general, una vez que la relación con las consecuencias físicas es tan indirecta como esa, probablemente no podamos usar el término “empírico”.

Hay personas que abogan por hacer matemáticas con un mayor uso de algunos de los axiomas de alta potencia que no son tan generalmente aceptados, en particular los axiomas del “gran cardenal”. Sin embargo, la forma en que estos serían “probados” sería por sus consecuencias matemáticas.

Penélope Maddy tiene un par de artículos de 1988 titulados Believing the Axioms I y Believing the Axioms II que discuten los diversos pros y contras de los axiomas en la teoría de conjuntos.

Answer 7

Muchas buenas respuestas ya. Todo lo que agregaría es que deben ser empíricos en el sentido de que debes asegurarte de que ya no contradicen axiomas en tu sistema matemático.

Answer 8

A2A. Axiomas de Zermelo-Fraenkel.