Voy a tener que ser contraria aquí.
La razón por la cual el orden de las operaciones es como es es que la suma se considera una operación más simple e intuitiva que la multiplicación. Por lo tanto, era natural que la representación matemática fuera sumas de productos, en lugar de productos de sumas.
Su pregunta efectivamente nos pide que intentemos imaginar un mundo donde el orden de las operaciones sea diferente. Los otros respondedores están adoptando un enfoque de baja perturbación: están imaginando un mundo donde nuestra cognición básica de las matemáticas es la misma, y sin embargo, por alguna razón inexplicable, decidimos elegir una notación que no era natural para nuestra forma de pensar.
Voy a especular de manera diferente. Digamos que nos encontramos con una versión de realidad alternativa de nosotros, pero a diferencia de nosotros, consideran que “productos de sumas” son más simples que “sumas de productos”. ¿Qué podemos esperar ver en esa sociedad?
Muchos aspectos de la educación de nivel inferior serían bastante diferentes.
Por ejemplo, ¿cuál de estos parece más simple?
[matemáticas] x ^ 2-3x-10 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-5) (x + 2) [/ matemáticas]
Estas dos expresiones son matemáticamente idénticas. Pero debido a nuestro orden de operaciones, consideramos que la primera es la “forma más simple” de la expresión. Dado que su orden de operaciones es diferente, la segunda expresión sería “más simple” que la primera, y sería lo que les parece más natural.
Esto tiene ramificaciones a través de la educación matemática básica. Es mucho más fácil ver las raíces de la segunda expresión. Pero es mucho más fácil encontrar la derivada de la primera expresión. Entonces, el álgebra de la escuela secundaria es mucho más fácil en ese mundo alternativo, pero el cálculo es mucho más difícil.
Incluso la representación básica de números probablemente sería conceptualmente diferente. Considere un número como 8327. Ese número se llama actualmente “ocho mil seiscientos veintisiete”. Esa forma de expresar el número muestra nuestros sesgos subyacentes de multiplicación sobre la suma: es equivalente a decir
[matemáticas] 8 * 10 * 10 * 10 + 3 * 10 * 10 + 2 * 10 + 7 [/ matemáticas]
Pero en un mundo donde la suma tiene prioridad sobre la multiplicación, eso se vería realmente feo en comparación con
[matemáticas] (((8 * 10 + 3) * 10 + 2) * 10 + 7) [/ matemáticas]
Por lo tanto, su idioma probablemente tendría un nombre diferente para ese número, algo así como “ocho tenp tres tenp dos tenp siete”, donde “tenp” es su palabra para “multiplicar por diez y luego sumar”, que por supuesto sería muy natural y concepto simple
De hecho, no está claro si tendrían bases aritméticas en absoluto. Por qué, en un mundo de precedencia de adiciones, esta representación es probablemente aún más simple:
[matemáticas] ((2 * 2 + 1) * 2 + 1) * (2 * 2 * 3 * 3 * 3 * (2 * 3 + 1) +1) [/ matemáticas]
¡Ni siquiera estoy seguro de cómo funcionaría un idioma para describir eso!
La hipótesis de Sapir-Whorf dice que la estructura del lenguaje de uno afecta la cognición de uno. Me imagino que el equivalente sería cierto para el pensamiento matemático.
Las fracciones continuas se sentirían más naturales que los decimales. La palabra “promedio” se entendería comúnmente como media geométrica, no media aritmética. Évariste Galois era un genio en nuestro mundo, pero tal vez sería normal en el de ellos. No estoy seguro de poder imaginar la informática donde la forma normal conjuntiva sería más simple que la forma normal disyuntiva para resolver problemas, pero ¿tal vez?