El teorema de incompletitud de Godel se demostró específicamente para un sistema de axiomas que incluye la suma, la multiplicación, los números y más que eso, que todos tienen que tener propiedades particulares. Y los matemáticos generalmente creen que son consistentes. En cualquier caso, hay muchos otros sistemas de axiomas completos, decidibles y consistentes. Vamos a desempaquetar esto con más detalle.
Kurt Gödel, quien demostró los notables teoremas de incompletitud. Turing e Church probaron teoremas relacionados aproximadamente al mismo tiempo.
Existen muchos sistemas de axiomas, pero uno de los más fáciles de establecer es el sistema de axiomas de Peano. Consiste en algunos axiomas curiosos que debes agregar para definir las operaciones de igualdad y sumar 1. Luego también dices que hay un primer número 0 (este es un sistema de axiomas solo para los números no negativos).
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Entonces tiene un axioma muy especial, el “axioma de inducción”. Si una propiedad es verdadera para 0, y si puede probar que siempre que sea verdadera para un número n, también es verdadera para n + 1, entonces esta propiedad debe ser verdadera para todos los números.
Este es el axioma que causa todos los problemas. Le permite definir la suma, la multiplicación y, de hecho, lo que significa llevar un número a la potencia de otro, por ejemplo, 2 ^ 3, 5 * 7, etc. Puede continuar y demostrar muchos teoremas complicados. Por ejemplo, puede probar que cada número tiene una factorización prima única. Por ejemplo, 30 = 2 * 3 * 5 donde 2, 3 y 5 son todos primos (no son divisibles por ningún otro número primo). Y esta es la única forma en que puede expresar 30 como producto de primos. Es lo mismo para todos los números, solo se pueden expresar como un producto de primos de una manera.
Esas fueron las principales propiedades de los números que Godel usó para probar su teorema, junto con el uso frecuente de la prueba por inducción. Una vez que tenga tanto poder deductivo, entonces sí, no puede probar que el sistema resultante es consistente.
Entonces, esa es una gran parte de las matemáticas. Usamos números en casi todas partes. Pero hay muchas áreas de las matemáticas que no necesitan números, o no necesitan números con todo ese aparato de reglas de deducción para probar cosas sobre ellos.
Un excelente ejemplo aquí es la geometría usando reglas y brújulas. Geometría euclidiana. Euclides resolvió la axiomatización básica, aunque omitió algunas cosas que le parecían obvias, tan obvias que no se dio cuenta de que necesitaban un axioma. Una de las reglas que dejó fuera es que si una línea entra en un triángulo de tres lados, cruzando uno de sus lados, tiene que salir del triángulo cruzando uno de los otros lados o el vértice opuesto. Era tan obvio que incluso con su cuidadosa mente lógica, no se dio cuenta de que lo tenía como una suposición.
De todos modos, si tienes una axiomatización adecuada de la geometría, bueno, no hay mención de números allí. Y resulta que no solo el teorema de Godel no se aplica, sino que si eres cuidadoso al establecer tus axiomas, también puedes demostrar que la teoría resultante es consistente, decidible y completa. Puede usar la axiomatización de la geometría de Tarski para probar esto.
Además, incluso la suma y la multiplicación no son suficientes para el teorema de Godel. Tienen que tener propiedades muy especiales, con un sistema de deducción bastante poderoso. Un buen sistema que puedes demostrar que es consistente es la teoría de los campos cerrados reales.
Esta es una teoría con suma, multiplicación, los números 1 y 0, fracciones, por lo que puede usarla para expresar cualquier proporción como 2/3, 4/5, etc. También está “cerrada”, lo que significa que dada cualquier secuencia de números en ella , entonces el punto límite de esa secuencia también está en él. En particular, incluirá cada decimal infinito, como PI como el punto límite de 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …
También tiene que tener la relación <=, que también debe funcionar igual que en los números reales: dado cualquier par de números, uno siempre es más pequeño o igual al otro. Pero además de eso tiene que tener un pedido total. Dado cualquier par de números, o son idénticos o uno de ellos es más pequeño que el otro, y eso si a <= byb <= a entonces a = b, también si a <= by b <= c entonces a <= c. En resumen, es un pedido total.
Bueno, eso puede parecer muy similar a lo que obtienes con los axiomas de Peano, después de todo, ahora tenemos números perfectamente buenos que podemos usar para sumar y multiplicar. Pero resulta que simplemente no tenemos el mismo poder deductivo que tenemos para los axiomas de Peano. No podríamos, por ejemplo, usar estas reglas para definir exponenciación, primalidad, factorización única, etc. porque no tiene una regla de inducción para los números. Por lo tanto, tampoco podemos probar el teorema de Godel para esta teoría.
Bueno, resulta que si agregamos dos axiomas más, un axioma que incluye la raíz cuadrada de cualquier número y un axioma que incluye al menos una solución de cualquier ecuación polinómica de grado impar (lineal, cúbico, quíntico, etc.) entonces podemos demostrar que la teoría resultante es completa, consistente y decidible: que, dado cualquier postulado que pueda establecer dentro de la teoría, entonces es verdadera o falsa, y lo que es más, hay un procedimiento que puede seguir que está garantizado para encontrar el respuesta correcta.
Ahora, este proceso para encontrar la respuesta correcta a cualquier pregunta en el lenguaje no es muy práctico (ni tampoco es práctico para la geometría de Tarski). El procedimiento es inmensamente complejo y podría durar casi para siempre en escalas de tiempo humanas. Sin embargo, en el sentido del teorema de Godel, es decidible, consistente y completo.
Entonces, ahora hemos visto algunas teorías bastante poderosas que son decidibles, consistentes y completas. Así que ahora veamos lo contrario. Algo que parece una teoría muy débil, sin embargo, es suficiente para probar el teorema de Godel, por lo que no se puede demostrar que sea una teoría consistente.
Esta es la aritmética de Robinson
Los axiomas son, donde “sucesor” aquí significa el resultado de sumar 1:
0 es un número y no es el sucesor de un número
Si el sucesor de x es igual al sucesor de y, entonces x = y.
Todos los números excepto el 0 tienen un predecesor.
Agregar 0 a un número no tiene efecto: x + 0 = x
Multiplicar cualquier número por 0 da 0: x * 0 = 0.
Luego, tenemos un par de reglas para definir la suma y la multiplicación. Entonces, si S es la operación sucesora, entonces para cada x e y:
x + Sy = S (x + y)
X . Sy = (xy) + x
Apenas parece suficiente. ¿Seguramente la teoría resultante es lógicamente más débil que la teoría de los campos cerrados reales? Bueno, resulta que la respuesta es no. Aquí hay suficiente poder deductivo para deducir el teorema de Godel.
Por lo tanto, no se puede demostrar que esta teoría sea consistente, excepto en una “teoría más fuerte o igualmente fuerte”.
Ahora, esto no significa que sea inconsistente. De hecho, en realidad no descarta la prueba de consistencia. De hecho, Gentzen realizó una prueba de consistencia para la aritmética de Peano, utilizando una axiomatización de aritmética ligeramente diferente y de alguna manera más simple llamada “aritmética recursiva primitiva” más algo llamado “ordinales transfinitos”. Todo esto es muy técnico, pero los matemáticos encuentran esto tranquilizador porque la aritmética de Peano con su axioma de inducción parece un poco incómoda como la poderosa teoría de la axiomatización de la teoría de conjuntos de Frege, pero esta otra axiomatización es de una manera más directa. Entonces, es una buena evidencia, tal vez, que no nos meteremos en problemas al tratar la Aritmética de Peano como una teoría consistente, a pesar de que no podemos probar esto. Prueba de consistencia de Gentzen – Wikipedia
Más bien, creo que una mejor manera de verlo, según el teorema de incompletitud de Godel, cualquier sistema lo suficientemente poderoso de axiomas nunca puede capturar todas las matemáticas que implican esos axiomas.
Si lo ha descrito con suficiente claridad para que quede totalmente claro cómo se prueban los teoremas, entonces, mediante los ingeniosos métodos de Godel, eso lo deja abierto a los procesos de agregar nuevos axiomas al sistema, que un matemático puede ver que debe ser cierto, pero cuáles son no incluido en su lista original de axiomas. También te deja abierto a la posibilidad de agregar las negaciones de esos nuevos axiomas, por supuesto, si quieres explorar sistemas que son incompatibles con omega, si estás interesado en estas extrañas teorías, donde puedes decir “Hay un número con propiedad P “y, sin embargo, puede decir” 1 no tiene propiedad P, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, … “y cada declaración de ese tipo es falsa. Parece inconsistente, pero en realidad matemáticamente no es posible hacer una prueba finita de una inconsistencia. Por lo tanto, es un poco más débil que la inconsistencia normal, y la palabra clave para esto es “ω inconsistente” (hay symbol es un símbolo utilizado para la secuencia de todos los números 1 2 3 … – es consistente a menos que encadenar infinitas declaraciones) no podemos hacerlo en la práctica, por lo que nunca puede demostrar que es inconsistente)
De todos modos, no se le impide explorar esas extrañas teorías, ya sea con pleno conocimiento de lo que está haciendo. De hecho, algunos matemáticos también están interesados en teorías “paraconsistentes”, teorías que tienen pruebas de inconsistencias que son finitas, pero bastante grandes, por lo que puede trabajar con ellas durante mucho tiempo sin llegar a una inconsistencia. Estos no son diferentes a la lógica ordinaria que usamos en la vida cotidiana. De hecho, podemos trabajar perfectamente bien con teorías inconsistentes. Por ejemplo, si desea sacar algo de su casa, puede pensar que es lo suficientemente pequeño como para entrar por la puerta en posición vertical, y tratar de sacarlo de esa manera, solo para descubrir que no encaja. Esto significa que tenía una teoría inconsistente sobre ese objeto. No hay problema. Modifique su teoría para decir “oh, ahora lo entiendo, tiene que estar de lado” y ahora puede sacarlo de su puerta. En situaciones más complejas, puede trabajar con creencias o ideas que sabe que son inconsistentes, pero simplemente evite las situaciones en las que tiene que enfrentar las inconsistencias. Podría funcionar bien. En algunas áreas, por ejemplo, la ley, es posible que deba trabajar con decisiones de casos que sean inconsistentes entre sí e intentar encontrar una solución a la situación. Básicamente, estaríamos enormemente discapacitados en nuestra vida cotidiana si tuviéramos que trabajar solo con conjuntos de ideas consistentes. Entonces, a veces es interesante trabajar con conjuntos inconsistentes de axiomas en matemáticas también.
Entonces puedes hacer todo eso. Y también puedes trabajar con teorías consistentes, por supuesto. O al menos, las teorías que tienes todas las razones para creer son consistentes aunque no puedas probar esto.
Simplemente use los axiomas que puede ver como verdaderos para los números, basados en los axiomas de Peano, y luego la oración de Godel, vea que es verdad, y que no se puede probar. Añádelo como un axioma. Solo continúa. Y luego puede expandir sus sistemas de axiomas según sea necesario de manera creativa si necesita ir más allá de sus limitaciones. Solo una y otra vez, tanto como quieras.
Entonces, significa que las matemáticas tienen que ser creativas y nunca terminar. Y nunca podemos estar seguros de que sea consistente una vez que alcance un cierto nivel de complejidad y poder. Pero no tiene que ser inconsistente.
Sí, hay un caso de “una vez mordido dos veces tímido” que cuando Frege publicó el trabajo de su vida, una base para toda la teoría de conjuntos, luego Russell encontró un error en él, demostró que era inconsistente a través de la paradoja de Russell. Podría arreglarse, pero solo de manera torpe. Esto sugiere que no es tan fácil llegar a una teoría que usted sabe con certeza que es consistente como se podría pensar. De hecho, el teorema de Godel muestra que no podemos probar que incluso los axiomas de Peano sean consistentes.
Pero creo que la mayoría de los matemáticos dirían que no existe un riesgo real de que los axiomas sean inconsistentes en el sentido de la teoría de conjuntos de Frege. No debemos preocuparnos de que aparezca algún tipo ingenioso, como Russell hizo para Frege, y decir “mira, aquí hay una prueba de una inconsistencia de los axiomas de la aritmética de Peano”. La mayoría de los matemáticos dirían que no debemos preocuparnos por esa posibilidad.
Son simplemente imposibles de encapsular por completo en un sistema axiomático que captura todas sus propiedades. Es por eso que no son decidibles, están incompletos y no se puede demostrar que sean consistentes.
Ahora, debo mencionar el teorema de integridad de Gödel porque esto confunde a muchas personas. Es una noción diferente de integridad de la utilizada en el “teorema de incompletitud” de Godel. Se trata de las consecuencias formales de los axiomas, no de las consecuencias informales que puedes ver razonando sobre la teoría de una manera meta matemática.
Dice que si enumera todas las pruebas que puede hacer utilizando los axiomas de la teoría, esos son todos los resultados que puede deducir de los axiomas y los únicos resultados que puede deducir. No hay axiomas adicionales ocultos que deba agregar para “completar” la teoría: todo está ahí.
Dicho de otro modo, dice que si interpreta la verdad como “verdadera en todos los modelos posibles”, entonces todas esas verdades pueden deducirse de los axiomas de su teoría.
Debo decir que esto es algo que investigué en la década de 1980. Desde entonces no he hecho ningún trabajo al respecto, y si me solicita que entre en detalles sobre algunas de estas cosas, tendría que “buscarlo y responderle”. Pero con suerte da una idea razonable de cómo funciona.
Es bastante desconcertante, seguro. Pero creo que la mejor manera de verlo yo mismo es que Godel demostró que las matemáticas no pueden estancarse y que existe la necesidad de una creatividad infinita, ya que no se puede “cortar, secar y cortar en cubitos” en una sola teoría general que abarca todo .
Pero algunas teorías, especialmente la geometría, pueden hacerse completamente decidibles, consistentes y completas.
También todos los problemas aquí tienen que ver con el infinito. Si está estudiando algo finito, por ejemplo, un grupo finito, con un número finito de elementos, por lo que todas las preguntas se pueden responder haciendo cálculos finitos, si son muy complicados, entonces esa será una teoría completa, consistente y decidible también. Es justo cuando comienzas a tener el infinito de alguna manera, que puedes (pero no siempre) golpear esto.
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