¿Qué harían los matemáticos si alguien demostrara que no es posible crear un sistema consistente de axiomas?

El teorema de incompletitud de Godel se demostró específicamente para un sistema de axiomas que incluye la suma, la multiplicación, los números y más que eso, que todos tienen que tener propiedades particulares. Y los matemáticos generalmente creen que son consistentes. En cualquier caso, hay muchos otros sistemas de axiomas completos, decidibles y consistentes. Vamos a desempaquetar esto con más detalle.

Kurt Gödel, quien demostró los notables teoremas de incompletitud. Turing e Church probaron teoremas relacionados aproximadamente al mismo tiempo.

Existen muchos sistemas de axiomas, pero uno de los más fáciles de establecer es el sistema de axiomas de Peano. Consiste en algunos axiomas curiosos que debes agregar para definir las operaciones de igualdad y sumar 1. Luego también dices que hay un primer número 0 (este es un sistema de axiomas solo para los números no negativos).

Entonces tiene un axioma muy especial, el “axioma de inducción”. Si una propiedad es verdadera para 0, y si puede probar que siempre que sea verdadera para un número n, también es verdadera para n + 1, entonces esta propiedad debe ser verdadera para todos los números.

Este es el axioma que causa todos los problemas. Le permite definir la suma, la multiplicación y, de hecho, lo que significa llevar un número a la potencia de otro, por ejemplo, 2 ^ 3, 5 * 7, etc. Puede continuar y demostrar muchos teoremas complicados. Por ejemplo, puede probar que cada número tiene una factorización prima única. Por ejemplo, 30 = 2 * 3 * 5 donde 2, 3 y 5 son todos primos (no son divisibles por ningún otro número primo). Y esta es la única forma en que puede expresar 30 como producto de primos. Es lo mismo para todos los números, solo se pueden expresar como un producto de primos de una manera.

Esas fueron las principales propiedades de los números que Godel usó para probar su teorema, junto con el uso frecuente de la prueba por inducción. Una vez que tenga tanto poder deductivo, entonces sí, no puede probar que el sistema resultante es consistente.

Entonces, esa es una gran parte de las matemáticas. Usamos números en casi todas partes. Pero hay muchas áreas de las matemáticas que no necesitan números, o no necesitan números con todo ese aparato de reglas de deducción para probar cosas sobre ellos.

Un excelente ejemplo aquí es la geometría usando reglas y brújulas. Geometría euclidiana. Euclides resolvió la axiomatización básica, aunque omitió algunas cosas que le parecían obvias, tan obvias que no se dio cuenta de que necesitaban un axioma. Una de las reglas que dejó fuera es que si una línea entra en un triángulo de tres lados, cruzando uno de sus lados, tiene que salir del triángulo cruzando uno de los otros lados o el vértice opuesto. Era tan obvio que incluso con su cuidadosa mente lógica, no se dio cuenta de que lo tenía como una suposición.

De todos modos, si tienes una axiomatización adecuada de la geometría, bueno, no hay mención de números allí. Y resulta que no solo el teorema de Godel no se aplica, sino que si eres cuidadoso al establecer tus axiomas, también puedes demostrar que la teoría resultante es consistente, decidible y completa. Puede usar la axiomatización de la geometría de Tarski para probar esto.

Además, incluso la suma y la multiplicación no son suficientes para el teorema de Godel. Tienen que tener propiedades muy especiales, con un sistema de deducción bastante poderoso. Un buen sistema que puedes demostrar que es consistente es la teoría de los campos cerrados reales.

Esta es una teoría con suma, multiplicación, los números 1 y 0, fracciones, por lo que puede usarla para expresar cualquier proporción como 2/3, 4/5, etc. También está “cerrada”, lo que significa que dada cualquier secuencia de números en ella , entonces el punto límite de esa secuencia también está en él. En particular, incluirá cada decimal infinito, como PI como el punto límite de 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …

También tiene que tener la relación <=, que también debe funcionar igual que en los números reales: dado cualquier par de números, uno siempre es más pequeño o igual al otro. Pero además de eso tiene que tener un pedido total. Dado cualquier par de números, o son idénticos o uno de ellos es más pequeño que el otro, y eso si a <= byb <= a entonces a = b, también si a <= by b <= c entonces a <= c. En resumen, es un pedido total.

Bueno, eso puede parecer muy similar a lo que obtienes con los axiomas de Peano, después de todo, ahora tenemos números perfectamente buenos que podemos usar para sumar y multiplicar. Pero resulta que simplemente no tenemos el mismo poder deductivo que tenemos para los axiomas de Peano. No podríamos, por ejemplo, usar estas reglas para definir exponenciación, primalidad, factorización única, etc. porque no tiene una regla de inducción para los números. Por lo tanto, tampoco podemos probar el teorema de Godel para esta teoría.

Bueno, resulta que si agregamos dos axiomas más, un axioma que incluye la raíz cuadrada de cualquier número y un axioma que incluye al menos una solución de cualquier ecuación polinómica de grado impar (lineal, cúbico, quíntico, etc.) entonces podemos demostrar que la teoría resultante es completa, consistente y decidible: que, dado cualquier postulado que pueda establecer dentro de la teoría, entonces es verdadera o falsa, y lo que es más, hay un procedimiento que puede seguir que está garantizado para encontrar el respuesta correcta.

Ahora, este proceso para encontrar la respuesta correcta a cualquier pregunta en el lenguaje no es muy práctico (ni tampoco es práctico para la geometría de Tarski). El procedimiento es inmensamente complejo y podría durar casi para siempre en escalas de tiempo humanas. Sin embargo, en el sentido del teorema de Godel, es decidible, consistente y completo.

Entonces, ahora hemos visto algunas teorías bastante poderosas que son decidibles, consistentes y completas. Así que ahora veamos lo contrario. Algo que parece una teoría muy débil, sin embargo, es suficiente para probar el teorema de Godel, por lo que no se puede demostrar que sea una teoría consistente.

Esta es la aritmética de Robinson

Los axiomas son, donde “sucesor” aquí significa el resultado de sumar 1:

0 es un número y no es el sucesor de un número

Si el sucesor de x es igual al sucesor de y, entonces x = y.

Todos los números excepto el 0 tienen un predecesor.

Agregar 0 a un número no tiene efecto: x + 0 = x

Multiplicar cualquier número por 0 da 0: x * 0 = 0.

Luego, tenemos un par de reglas para definir la suma y la multiplicación. Entonces, si S es la operación sucesora, entonces para cada x e y:

x + Sy = S (x + y)

X . Sy = (xy) + x

Apenas parece suficiente. ¿Seguramente la teoría resultante es lógicamente más débil que la teoría de los campos cerrados reales? Bueno, resulta que la respuesta es no. Aquí hay suficiente poder deductivo para deducir el teorema de Godel.

Por lo tanto, no se puede demostrar que esta teoría sea consistente, excepto en una “teoría más fuerte o igualmente fuerte”.

Ahora, esto no significa que sea inconsistente. De hecho, en realidad no descarta la prueba de consistencia. De hecho, Gentzen realizó una prueba de consistencia para la aritmética de Peano, utilizando una axiomatización de aritmética ligeramente diferente y de alguna manera más simple llamada “aritmética recursiva primitiva” más algo llamado “ordinales transfinitos”. Todo esto es muy técnico, pero los matemáticos encuentran esto tranquilizador porque la aritmética de Peano con su axioma de inducción parece un poco incómoda como la poderosa teoría de la axiomatización de la teoría de conjuntos de Frege, pero esta otra axiomatización es de una manera más directa. Entonces, es una buena evidencia, tal vez, que no nos meteremos en problemas al tratar la Aritmética de Peano como una teoría consistente, a pesar de que no podemos probar esto. Prueba de consistencia de Gentzen – Wikipedia

Más bien, creo que una mejor manera de verlo, según el teorema de incompletitud de Godel, cualquier sistema lo suficientemente poderoso de axiomas nunca puede capturar todas las matemáticas que implican esos axiomas.

Si lo ha descrito con suficiente claridad para que quede totalmente claro cómo se prueban los teoremas, entonces, mediante los ingeniosos métodos de Godel, eso lo deja abierto a los procesos de agregar nuevos axiomas al sistema, que un matemático puede ver que debe ser cierto, pero cuáles son no incluido en su lista original de axiomas. También te deja abierto a la posibilidad de agregar las negaciones de esos nuevos axiomas, por supuesto, si quieres explorar sistemas que son incompatibles con omega, si estás interesado en estas extrañas teorías, donde puedes decir “Hay un número con propiedad P “y, sin embargo, puede decir” 1 no tiene propiedad P, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, … “y cada declaración de ese tipo es falsa. Parece inconsistente, pero en realidad matemáticamente no es posible hacer una prueba finita de una inconsistencia. Por lo tanto, es un poco más débil que la inconsistencia normal, y la palabra clave para esto es “ω inconsistente” (hay symbol es un símbolo utilizado para la secuencia de todos los números 1 2 3 … – es consistente a menos que encadenar infinitas declaraciones) no podemos hacerlo en la práctica, por lo que nunca puede demostrar que es inconsistente)

De todos modos, no se le impide explorar esas extrañas teorías, ya sea con pleno conocimiento de lo que está haciendo. De hecho, algunos matemáticos también están interesados ​​en teorías “paraconsistentes”, teorías que tienen pruebas de inconsistencias que son finitas, pero bastante grandes, por lo que puede trabajar con ellas durante mucho tiempo sin llegar a una inconsistencia. Estos no son diferentes a la lógica ordinaria que usamos en la vida cotidiana. De hecho, podemos trabajar perfectamente bien con teorías inconsistentes. Por ejemplo, si desea sacar algo de su casa, puede pensar que es lo suficientemente pequeño como para entrar por la puerta en posición vertical, y tratar de sacarlo de esa manera, solo para descubrir que no encaja. Esto significa que tenía una teoría inconsistente sobre ese objeto. No hay problema. Modifique su teoría para decir “oh, ahora lo entiendo, tiene que estar de lado” y ahora puede sacarlo de su puerta. En situaciones más complejas, puede trabajar con creencias o ideas que sabe que son inconsistentes, pero simplemente evite las situaciones en las que tiene que enfrentar las inconsistencias. Podría funcionar bien. En algunas áreas, por ejemplo, la ley, es posible que deba trabajar con decisiones de casos que sean inconsistentes entre sí e intentar encontrar una solución a la situación. Básicamente, estaríamos enormemente discapacitados en nuestra vida cotidiana si tuviéramos que trabajar solo con conjuntos de ideas consistentes. Entonces, a veces es interesante trabajar con conjuntos inconsistentes de axiomas en matemáticas también.

Entonces puedes hacer todo eso. Y también puedes trabajar con teorías consistentes, por supuesto. O al menos, las teorías que tienes todas las razones para creer son consistentes aunque no puedas probar esto.

Simplemente use los axiomas que puede ver como verdaderos para los números, basados ​​en los axiomas de Peano, y luego la oración de Godel, vea que es verdad, y que no se puede probar. Añádelo como un axioma. Solo continúa. Y luego puede expandir sus sistemas de axiomas según sea necesario de manera creativa si necesita ir más allá de sus limitaciones. Solo una y otra vez, tanto como quieras.

Entonces, significa que las matemáticas tienen que ser creativas y nunca terminar. Y nunca podemos estar seguros de que sea consistente una vez que alcance un cierto nivel de complejidad y poder. Pero no tiene que ser inconsistente.

Sí, hay un caso de “una vez mordido dos veces tímido” que cuando Frege publicó el trabajo de su vida, una base para toda la teoría de conjuntos, luego Russell encontró un error en él, demostró que era inconsistente a través de la paradoja de Russell. Podría arreglarse, pero solo de manera torpe. Esto sugiere que no es tan fácil llegar a una teoría que usted sabe con certeza que es consistente como se podría pensar. De hecho, el teorema de Godel muestra que no podemos probar que incluso los axiomas de Peano sean consistentes.

Pero creo que la mayoría de los matemáticos dirían que no existe un riesgo real de que los axiomas sean inconsistentes en el sentido de la teoría de conjuntos de Frege. No debemos preocuparnos de que aparezca algún tipo ingenioso, como Russell hizo para Frege, y decir “mira, aquí hay una prueba de una inconsistencia de los axiomas de la aritmética de Peano”. La mayoría de los matemáticos dirían que no debemos preocuparnos por esa posibilidad.

Son simplemente imposibles de encapsular por completo en un sistema axiomático que captura todas sus propiedades. Es por eso que no son decidibles, están incompletos y no se puede demostrar que sean consistentes.

Ahora, debo mencionar el teorema de integridad de Gödel porque esto confunde a muchas personas. Es una noción diferente de integridad de la utilizada en el “teorema de incompletitud” de Godel. Se trata de las consecuencias formales de los axiomas, no de las consecuencias informales que puedes ver razonando sobre la teoría de una manera meta matemática.

Dice que si enumera todas las pruebas que puede hacer utilizando los axiomas de la teoría, esos son todos los resultados que puede deducir de los axiomas y los únicos resultados que puede deducir. No hay axiomas adicionales ocultos que deba agregar para “completar” la teoría: todo está ahí.

Dicho de otro modo, dice que si interpreta la verdad como “verdadera en todos los modelos posibles”, entonces todas esas verdades pueden deducirse de los axiomas de su teoría.

Debo decir que esto es algo que investigué en la década de 1980. Desde entonces no he hecho ningún trabajo al respecto, y si me solicita que entre en detalles sobre algunas de estas cosas, tendría que “buscarlo y responderle”. Pero con suerte da una idea razonable de cómo funciona.

Es bastante desconcertante, seguro. Pero creo que la mejor manera de verlo yo mismo es que Godel demostró que las matemáticas no pueden estancarse y que existe la necesidad de una creatividad infinita, ya que no se puede “cortar, secar y cortar en cubitos” en una sola teoría general que abarca todo .

Pero algunas teorías, especialmente la geometría, pueden hacerse completamente decidibles, consistentes y completas.

También todos los problemas aquí tienen que ver con el infinito. Si está estudiando algo finito, por ejemplo, un grupo finito, con un número finito de elementos, por lo que todas las preguntas se pueden responder haciendo cálculos finitos, si son muy complicados, entonces esa será una teoría completa, consistente y decidible también. Es justo cuando comienzas a tener el infinito de alguna manera, que puedes (pero no siempre) golpear esto.

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A nivel filosófico, todo se reduce al hecho de si crees en la realidad objetiva, e incluso más allá de esto.

Si cree en una realidad objetiva, cualquier conjunto de afirmaciones verdaderas en esa realidad será, necesariamente, “un sistema consistente de axiomas”. Lo más probable es que no sea un sistema completo, pero esto no es un problema aquí, lo entiendo.

No estudié esto, pero la diversión puede comenzar si “la realidad realmente no existe”. Digamos que simplemente recibe información de algún sistema de simulación arbitrario. Si las personas que diseñaron la simulación eran programadores descuidados (“muchachos, cada sistema tiene algunos errores, no se preocupen hasta que el control de calidad o los clientes se quejen, vamos a dejarlo por hoy y tomar un poco de cerveza”), entonces puede encontrar, fuera del azul, inconsistencias.

Lo que pasa saber es una incógnita. Tal vez pueda presentar el formulario “Informe de rendimiento del software” (hojas amarillas donde solía trabajar), y la inconsistencia desaparecerá en el próximo ciclo de lanzamiento, hasta que encuentre otro. Solo recuerde marcar su informe como “crítico”, de lo contrario, puede permanecer en el escritorio de alguien por un tiempo.

Una alternativa interesante es que en el momento en que encuentre inconsistencia, su mundo (y usted) dejará de existir. Lo que usted percibe es, por supuesto, que se calcula de manera perezosa, es posible que el algoritmo no maneje con gracia la salida contradictoria.

Pero hice un montón de trabajo práctico de simulación (programación, simulación matemática, objetos físicos reales fabricados en base a mi modelo matemático) y yo, y las personas de mi grupo, a menudo manejamos con gracia tales situaciones: simplemente dejamos caer uno de los resultados contradictorios y procedió de todos modos con el otro. En la mayoría de los casos, la discrepancia no importaba, era visible solo en resoluciones muy por debajo del tamaño de las herramientas de fabricación utilizadas, estaba localizada para que el problema no explotara toda la pieza fabricada, lo que sea.

Entonces, si estuviera programando tu mundo, nunca verías la contradicción, aunque estaría allí. Pero en el primer momento en que solicitó que se calcule (estableciendo algún experimento físico en su mundo, por ejemplo), y el cálculo llegaría a una contradicción, mataría toda la rama del programa, protegiendo de esta manera todo el cálculo, libre de rodar Adelante, saltando un camino que condujo a la maldad. Desde su perspectiva, nunca habría comenzado este experimento.

Si yo, o alguien en mi grupo, fuéramos descuidados, tu mundo dejaría de existir. Es probable que el programa se bloquee, aunque podría haber cosas salvajes por un tiempo. Estaba recibiendo (muy rara vez, me enorgullece decir) información sobre cosas realmente salvajes que las máquinas CNC intentaban producir después de nuestro programa. Estas fueron estas hojas amarillas de SPR.

Una historia famosa (y admito que no es del todo cierta) fue un intento de fabricar lo que esencialmente era una botella de Klein. Esta historia tenía raíces verdaderas en alguien que no conservaba correctamente (en su algoritmo) la información de orientación cuando atravesaba la singularidad en el cálculo. Es sorprendente que, independientemente de las situaciones de geometría abstracta de singularidad puramente teórica, si su programa se utiliza en todo el mundo en la fabricación, algún ingeniero ingresará los valores exactamente como sea necesario para crear esta singularidad durante el cálculo. Después de un tiempo, aprende a manejar todo esto correctamente, aunque esto generalmente significa que los modelos internos de objetos aparentemente tridimensionales realmente viven en dimensiones más altas.

Hay un camino filosófico aún más avanzado: ¿realmente necesitamos una lógica que no acepte contradicciones? Esto es nuevamente práctico, estaba trabajando en un marco para llevar a cabo cálculos, confiablemente con el propósito de que el producto final fuera fabricado “en el metal”, en presencia de resultados contradictorios, era prometedor, pero finalmente no lo necesitábamos. Por razones comerciales, la calidad de los algoritmos mejoró lo suficiente (gente realmente buena trabajando) que ya no tuvimos que lidiar con las contradicciones internas.

Por lo tanto, sería posible (si programara su mundo) que pueda probar resultados contradictorios, pero solo en áreas no tan interesantes o no tan consecuentes. Tómelo con un gran grano de sal, no hice toda la tarea necesaria sobre lo que sucede si se divorcia de la lógica clásica.

Aquí hay un sistema consistente de axiomas:

  • 1 es un número.

Eso es. Es un solo axioma. Lo único que puede derivar de este axioma es que 1 es un número. No te deja hacer nada más. Pero es perfectamente consistente: tiene un modelo. Tome cualquier objeto que le guste (su casa, la luna, un horno de microondas, una idea en su mente), llámelo “1”, márquelo como “un número” y listo: un modelo.


Nadie demostrará que “no es posible crear un sistema consistente de axiomas”, porque es posible crear un sistema consistente de axiomas. Los axiomas de la teoría de grupos son consistentes, porque hay grupos. Los axiomas de los conjuntos parcialmente ordenados son consistentes porque hay conjuntos parcialmente ordenados.

Si desea ser escéptico y refutar la existencia de conjuntos infinitos, hágalo, pero muchos sistemas de axiomas tienen modelos finitos o modelos que tienen un solo objeto, una sola cosa. Si quiere negar que algo existe, tiene una disputa con matemáticos, físicos y músicos que va mucho más allá de la capacidad de los sistemas axiomáticos.


Además, los teoremas de incompletitud de Gödel no dicen que “no es posible demostrar que un sistema complejo específico de axiomas es consistente”. Uno de sus teoremas dice que no hay un sistema consistente, completo, axiomatizado recursivamente y suficientemente fuerte para los números naturales, y el otro dice que un sistema consistente, suficientemente fuerte, axiomatizado recursivamente no puede probar su propia consistencia. No hay problema para que el sistema A demuestre la consistencia del sistema B.


Y finalmente: la gente parece preocuparse a menudo por “qué harían los matemáticos si …”, como si todo el esfuerzo de las matemáticas dependiera precariamente de un hilo, con el riesgo de ser destruido por alguna revelación de una inconsistencia o paradoja o un problema pasado por alto. .

No hay tal riesgo. Esto es como estar preocupado de que tal vez Maxwell haya tenido un error en sus ecuaciones y una vez que esto se descubra, todos los dispositivos eléctricos del mundo dejarán de funcionar inmediatamente. La electricidad funciona , y también las matemáticas. Los logros de las matemáticas al describir tanto el mundo matemático como el mundo físico no corren el riesgo de evaporarse. Existen, funcionan y son verdaderas.

Primero, no estoy exactamente seguro de lo que está preguntando, pero supondré que se refería a algo como el teorema de G \ “{o} del (G) dice que no se puede demostrar que un sistema de axiomas suficientemente complicado sea consistente, pero ¿por qué debería haber un sistema consistente dado que el sistema es lo suficientemente complicado? Si he expresado mal su intención, no dude en llamarme y puedo cambiar mi respuesta.

La parte difícil es obtener toda la terminología. ¿Qué significa exactamente un sistema de axiomas suficientemente complejo?

El primer bit es escribir lo que significa la sintaxis. Esto también es lo más molesto / tedioso. Si escribo en matemáticas en inglés, entonces hay algunas frases que son comprensibles, como

1 + 2 = 3

y también

1 + 1 = 3

Lo último está mal (creo), ¡pero al menos puedes decir que está mal! Por ejemplo, podría haber elegido escribir galimatías,

[matemáticas] \ forall = \ existe [/ matemáticas]

Entonces, la sintaxis, es intuitivamente una descripción de cosas que son comprensibles, incluso si están equivocadas. Si ha realizado la programación en C o Haskell, es muy parecido a la verificación de tipos. Formalmente, uno comienza con un conjunto de símbolos de operación, constantes y variables. Entonces se pueden formar cadenas a partir de estos símbolos. Esto permite cadenas sin sentido como las anteriores

\ forall = \ existe

Fuera de las cadenas sensibles, uno formula la noción de fórmula por una gramática y, a veces, reglas de verificación de tipo adicionales. Esto es común, por ejemplo, cuando hay más de un tipo, como una sintaxis que contiene símbolos de operación como ‘+’ y también símbolos de operación como ‘**’ donde el primero espera expresiones numéricas a cada lado (por ejemplo, (3 + 1 ) + (2 + x)) y este último espera un número a su izquierda y una lista de números a su derecha (por ejemplo, 1 ** [2,3] tiene la interpretación de poner 1 al frente de la lista: 1 * * [2,3] = [1,2,3]).

El siguiente bit es escribir un sistema de inferencia o prueba. Esto es mucho mas divertido. Quora no es el lugar apropiado para entrar en detalles sobre lo que esto significa, y hay algunas diferencias sutiles

Deducción natural – Wikipedia

Sistema Hilbert – Wikipedia

Cálculo secuencial – Wikipedia

Nota: la igualdad es un tema delicado. A veces, desea que la igualdad denote igualdad en el sentido teórico de la prueba: estas dos entidades son sintácticamente idénticas, por ejemplo, 3 es exactamente idéntico a 3. Otras veces, quiere que la igualdad denote una especie de igualdad interna: estas dos entidades son iguales en el sistema formal se describe, por ejemplo, 2 + 1 = 3 en la teoría de la aritmética, pero no son términos sintácticamente idénticos. Por lo general, vas con el último.

La visión moderna de estos sistemas se puede resumir de la siguiente manera: supongamos que alguien afirma tener una prueba de un teorema y desea saber si realmente son correctos. Usted requiere que esta persona escriba su prueba paso a paso, y luego puede revisar sus detalles y verificar cada paso que realice. Las reglas que permiten esta verificación son un sistema de prueba, y una persona que escribe una prueba paso a paso, debe escribir su prueba de acuerdo con un conjunto fijo de reglas para escribir pruebas. Esto garantiza que las pruebas se transmitan sin ambigüedades (aunque tenga en cuenta que muy pocos matemáticos / lógicos han escrito pruebas históricamente a este nivel de detalle, aunque con la ayuda de computadoras y asistentes de pruebas, se está volviendo más manejable y popular). Los sistemas de prueba de notas permiten el uso de axiomas: estas son simplemente fórmulas que uno puede invocar aplicando la regla del axioma del sistema de prueba, es decir, son simplemente fórmulas en la sintaxis de la teoría, que siempre son demostrables, sin suposiciones.

Existe un tipo de herramienta en línea ordenada que se puede utilizar para jugar con cálculos consecutivos Tutorial interactivo del cálculo secuencial. Puede hacer clic para llegar a una prueba. Aunque si te encuentras con ganas de más, echa un vistazo a Agda, Coq, Lean o algún otro cálculo lambda de tipo dependiente.

Entonces uno puede usar un sistema de prueba para formalizar un aspecto de las matemáticas agregando axiomas a las reglas del sistema de prueba. Por ejemplo, uno puede querer agregar reglas para la aritmética. Esto comenzaría con la sintaxis, agregando símbolos que permitan representar números. Por lo general, uno asume 0, y un solo símbolo S, que significa ‘siguiente’. 0 es un número, y si N es un número, entonces también lo es SN. Escribimos SSS0 para significar 3 y SSSSSSS0 para significar 7. Luego hay reglas para la igualdad: la igualdad es reflexiva, simétrica, transitiva y reemplaza satisfactoria; las cosas iguales se pueden usar entre sí (por ejemplo, a = b implica a + 3 = b +3), y reemplazo en tipos, para cualquier número a, si a = b, entonces b es un número. Se supone que S es inyectivo: SN = SM implica N = M, y también distingue: SX nunca es igual a 0, es decir \ neg (SX = 0). Entonces hay un esquema de inducción. Probar cualquier declaración de forma [math] \ forall x: \ mathbb {N}. \ phi (X) [/ math] requiere probar [math] \ phi (0) [/ math] y también probar que si uno asume [math] \ phi (X) [/ math] siempre obtiene [math] \ phi (SX) [/ matemáticas].

De hecho, esta es la única forma de probar tales afirmaciones sobre números.

Entonces, esto es al pie de la letra un sistema bastante complicado.

Pero son exactamente los axiomas que escribirías si alguien te pidiera que escribieras una teoría de los números naturales o la aritmética básica.

Por cierto, vale la pena señalar ahora, que todo esto se siente más bien, poco especial y formulado. Esto es bueno, así es como deben sentirse las bases, la mente insensiblemente insensible. Hay otra estipulación que debe hacerse: la enumeración de axiomas. Esto dice que debe haber un programa que escriba todos los axiomas, no pueden ser simplemente un conjunto abstracto de tamaño arbitrario (ya que entonces podría tener un conjunto de “axiomas” que consisten precisamente en los teoremas … lo cual no tiene sentido).

Para dar una prueba, es precisamente apilar un montón de reglas una encima de la otra. Uno podría imaginar un robot bastante aburrido eligiendo al azar una serie de reglas y axiomas (posiblemente con duplicados) y encontrando una forma de organizarlos para que formen una prueba de algo. Este algo generalmente no será interesante, pero de vez en cuando escribiría una prueba de un gran problema abierto. Parece casi obvio que esto se podría hacer, solo debido a cuán formulados y rígidos configuramos todo.

Tomando las reglas de aritmética anteriores, esto significaría que podríamos sentarnos y simplemente ver a un robot probar todos los teoremas sobre números (bueno, tendríamos que esperar infinitamente para obtener todas las pruebas (… probablemente …) pero aún así probablemente obtendría suficientes interesantes en una sola vida).

El primer teorema de Gödel dice que no existe tal robot para la teoría de la aritmética, ni para ninguna teoría que contenga la teoría de la aritmética. ¡De hecho dice algo más fuerte! Hay declaraciones que se pueden escribir en la sintaxis de la aritmética que no se pueden demostrar como verdaderas o falsas. La prueba es constructiva: en realidad se puede escribir una declaración de este tipo y demostrar que no se puede probar ni refutar. Esto procede construyendo una declaración GS de tal manera que una prueba o una prueba de la declaración haría inconsistente la aritmética, por lo tanto, como no se permiten contradicciones, la declaración GS no debe ser verdadera ni falsa.

Nota: esto no significa que la aritmética sea consistente o inconsistente. No dice nada sobre la consistencia de la aritmética. Aunque algo de pop. a los autores les gusta hacer que parezca más sexy, “pero esto significa que uno debe elegir: consistencia o integridad” Esto es cierto en el sentido de que uno podría forzar la integridad al hacer que todas las cosas sean verdaderas, incluso contradicciones al agregar axiomas adicionales … pero honestamente esto no es Realmente una opción. Bueno, tal vez lo sea, pero tendrías que tener mucho cuidado, pero podría ser útil en aplicaciones reales tener una lógica de 3 valores (no pienses en un número). Y la posición normal es elegir la coherencia sobre la integridad … esta realmente falla la marca … No había elección, simplemente es el caso de que la aritmética no puede ser completa.

Godel también demostró otro resultado que la aritmética no puede probar su propia consistencia. Esta es la parte divertida. Se puede integrar la teoría de la aritmética en la teoría de la aritmética mediante la “codificación de Godel”. Se escriben números únicos para cada uno de los símbolos de operación de la teoría, por lo que una cadena de números corresponde a alguna fórmula. El procedimiento es constructivo, uno puede decodificar el número y obtener una fórmula. También se puede codificar la simulación del sistema de prueba como un número. Así, uno puede hablar sobre la teoría de la aritmética dentro de la teoría de la aritmética. Entonces uno puede interpretar pruebas internamente también. A partir de aquí la prueba sigue:

Condiciones de demostrabilidad de Hilbert-Bernays – Wikipedia

Tenga en cuenta que hay algunas sutilezas aquí, por lo que debe tener un poco de cuidado.

Estás equivocando el teorema de Godel, creo.

En los números de conteo, puede construir un conjunto consistente de axiomas, pero no describen todo lo que es cierto.

Si agrega axiomas adicionales, siempre puede crear un sistema inconsistente.

En los números de conteo, cualquier sistema dado es incompleto o inconsistente.

¡Es difícil ver cómo eso probaría algo, excepto la inconsistencia del sistema deductivo en el que demostró la imposibilidad!

Probar la inconsistencia de, por ejemplo, ZF sería sensacional (y muy molesto). Pero una prueba general de la inconsistencia de, um, todas las teorías de segundo orden no reducibles a teorías de primer orden, o algo así, un metamatemático “Todos mueren”, parece bastante imposible. Y los ultrafinitistas aún se reirían, probablemente.

Fue creado: PA1 y PA2 con el axioma no formal de que cada colección es un conjunto. Y algunos formalistas dicen que no en el caso de ZFC porque no demuestra su consistencia adecuada, pero usaron

Los axiomas son heurísticas no demostrables basadas en nuestra intuición. La intuición es el resultado de nuestra percepción lógica del mundo practicada repetidamente en diferentes situaciones. Entonces los axiomas seguirán siendo válidos ya que la humanidad nunca ha encontrado un cambio en las leyes de la naturaleza en la historia. Pero si pudiéramos pensar en problemas lógicamente válidos donde cualquiera de nuestros axiomas de sonido nos da percepciones incómodas, podría arrojar misterios abiertos de la naturaleza que solo pueden abordarse matemáticamente de una manera extraña 🙂 Un ejemplo es la paradoja de Zenón que se relaciona con la longitud cuántica .

Volviendo a su pregunta, no creo que ponga en peligro nuestro mundo si alguien demuestra que no es posible crear un sistema coherente de axiomas. Podríamos hacer con diferentes dominios de definiciones para diferentes conjuntos de axiomas. Por el contrario, podría abrir más misterios de la naturaleza.