¿Es válido decir que nunca podemos dibujar un círculo perfecto porque pi es irracional?

Answer 1

Aquí hay muchas buenas respuestas que dicen que la irracionalidad no es necesariamente la razón por la que no podemos dibujar un círculo perfecto, incluso si los números reales no existen, en cierto sentido, en nuestra realidad física. Quiero mencionar otra razón práctica: incertidumbre. Para dibujar un círculo perfecto (o casi cualquier objeto geométrico perfecto), necesitamos una certeza absoluta , es decir, un conocimiento completo de la precisión de nuestra medición. Desafortunadamente, eso no es posible.

La noción de que la incertidumbre es inherente al mundo está formalizada y cuantificada por el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg (y otras relaciones similares): si [matemática] \ Delta x [/ matemática] es la incertidumbre (desviación estándar) de la posición de una partícula y [ matemática] \ Delta p [/ matemática] es la incertidumbre (desviación estándar) del momento de esa partícula (tenga en cuenta que la posición y el momento determinan completamente el estado de un sistema clásico), entonces

[matemáticas] \ Delta x \ Delta p \ geq \ frac {\ hbar} {2}, [/ matemáticas]

dónde

[matemáticas] \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} \ aproximadamente 1.054 \ por 10 ^ {- 34} \; \ mathrm {J} \ cdot \ mathrm {s} [/ math]

o simplemente [matemáticas] 1 [/ matemáticas] si está trabajando en unidades naturales.

La mecánica cuántica es un excelente modelo del mundo real [1], por lo que debes confiar en este resultado. La incertidumbre y la incertidumbre cuánticas significan que no solo no puedes dibujar un círculo perfecto, ¡sino que ese objeto no existe en el universo físico!

Tenga en cuenta que tampoco podemos tener longitudes racionales . Ninguna medida es perfectamente precisa. El ejemplo de David Joyce de construir un triángulo rectángulo [matemático] 45 [/ matemático] con la longitud de la pierna exactamente [matemática] 1 [/ matemático], un proceso que solo usa números racionales, muestra que necesariamente obtenemos una hipotenusa de longitud [ math] \ sqrt {2} [/ math], según el teorema de Pitágoras, y por lo tanto, los números irracionales surgen naturalmente de los números racionales. [1] [2]

También podríamos simplemente definir algún objeto como una longitud numérica racional o irracional en algunas unidades ad hoc (el kilogramo se define realmente de esta manera, al menos por ahora [2]), pero esto realmente no nos lleva a ninguna parte. Esa muestra cambia la longitud de manera imperceptible cada segundo, por lo que no nos da una unidad constante. Además, cualquiera que sea su longitud en un momento dado todavía es imprecisa debido a la confusión de la mecánica cuántica.

La longitud precisa no es un concepto físico bien definido; parece que solo funciona realmente en matemáticas. La física solo modela la realidad. Lo hace utilizando las matemáticas, inspiradas en la experiencia del mundo real, al menos en la práctica. Los objetos matemáticos no necesitan existir en el mundo real. Muchos objetos físicos son aproximadamente objetos matemáticos; Uno puede pensar en los objetos matemáticos como idealizaciones, si así lo desean. Aquí hay mucha filosofía, incluida la misma noción de existencia, pero no continuaré más.

[1] En caso de que alguien señale esto, es cierto que algunos matemáticos creen que solo existen números racionales o números algebraicos, pero esto no nos importa. Sin embargo, vale la pena señalar que, en teoría, podríamos construir un universo modelo cuando solo existan números racionales.

[2] Como quizás un lado más interesante, uno podría argumentar que la geometría euclidiana es un mal modelo de la realidad y deberíamos, por ejemplo, pensar en una métrica diferente. Desafortunadamente, esto no te lleva a ninguna parte. Los círculos se definen para el espacio euclidiano.

Notas al pie

[1] Pruebas de precisión de QED – Wikipedia

[2] Kilogramo – Wikipedia

Answer 2

Déjame darte una opinión diferente sobre esto:

1. ¿Existe un círculo perfecto: por ejemplo, una forma bidimensional hecha dibujando una curva que esté siempre a la misma distancia del centro? Sí , matemáticamente la hay. Se puede expresar perfectamente como pi * 2r (r = radio del círculo)
2. ¿Puedes dibujar un círculo perfecto? No ¿Por qué? Incluso la impresora o trazador mecánico de mayor tolerancia no puede dibujar un círculo perfectamente. No puede dibujar un cuadrado, trapecio, pentágono o cualquier forma perfectamente para el caso. Siempre hay variaciones de tolerancia mecánicas o electrónicas. El papel o cualquier sustancia sobre la que se dibuje el diagrama también es imperfecto. Puede que solo sean unos pocos nanómetros, pero estará apagado.
3. pi no tiene absolutamente nada que ver con esto. Simplemente representa la circunferencia del círculo. Cuando dibujas un círculo simplemente no te importa. Dibujas hasta llegar a donde empezaste.
4. Consiga un trabajo en una tienda de neumáticos y aprenderá rápidamente que “ronda” es solo una aproximación de la forma de lo que está vendiendo. ¡Sus clientes molestos se lo harán saber!

Answer 3

A2A

No se puede dibujar un círculo perfecto en la vida real porque el mundo físico es inherentemente discreto, no porque [math] \ pi [/ math] sea irracional. Como referencia, ni siquiera podemos dibujar un cuadrado perfecto en la vida real, a pesar de que su relación perímetro / diámetro es [matemática] 4 [/ matemática], lo cual es racional.

Answer 4

No, eso no es válido. La raíz cuadrada de 2 es irracional, y eso no es un impedimento para dibujar un triángulo rectángulo isósceles. La raíz cuadrada de 3 es irracional, y eso no es un impedimento para dibujar un triángulo equilátero. El número π es irracional, y eso no es un impedimento para dibujar un círculo.

En la geometría euclidiana, todas estas figuras son posibles y construibles con una regla y una brújula.

Si no podemos dibujar estas figuras perfectas en el universo físico, la razón no es porque las razones no sean razones de números enteros, sino algo más.

Answer 5

No.

Es cierto que no podemos dibujar círculos perfectos.

Pero, la irracionalidad de π no es una razón.

¿Por qué?

Porque π no es parte de la definición: un círculo es el conjunto de puntos en un plano de igual distancia desde un punto fijo en el plano.

Es decir, π — racional o irracional — no es necesario para la construcción de círculos.

---

Pero no podemos dibujar círculos perfectos por otras razones, por ejemplo, la granularidad de la materia, ese espacio físico no es perfectamente euclidiano: razones que tienen que ver con la naturaleza física de este mundo.

En un mundo ideal en el que las abstracciones de las matemáticas podrían realizarse, podríamos dibujar círculos perfectos aunque π sea irracional.

---

Tenga en cuenta que la relación de circunferencia a diámetro para un círculo es irracional en geometría euclidiana.

En otras geometrías, si hay círculos, la relación de circunferencia a diámetro no es necesariamente constante y no necesita ser irracional. Considere una Tierra esférica idealizada. Estamos mirando su superficie. El ecuador es un círculo. En la superficie, su radio es la distancia a lo largo de una línea de longitud desde un polo (por ejemplo, Norte) hasta el ecuador. En este caso circunferencia / diámetro = 2. Pero en un análogo del mundo real, aún no podríamos dibujar un círculo perfecto, nuevamente, por razones físicas.

Answer 6

Con una brújula perfecta (ignorando múltiples aspectos de la naturaleza de la realidad física, incluido el principio de Heisenberg), podría dibujar un círculo perfecto independientemente de la irracionalidad de [math] \ pi [/ math]. Esto es posible porque [math] \ pi [/ math] no necesita ser usado directamente para construir un círculo; se puede dejar que emerja naturalmente de sus relaciones con otras variables geométricas. [matemática] \ pi [/ matemática] está relacionada con el diámetro del círculo en el sentido de que si el diámetro es [matemático] 1 [/ matemático], entonces la circunferencia del círculo respectivo es [matemático] \ pi [/ matemático]. [matemática] 1 [/ matemática] no es un número irracional, por lo que esta técnica está “permitida” en el sentido del que hablas.

Lo mismo sucede con otras constantes irracionales: si quisieras “arrancar” el número [math] \ sqrt {2} [/ math] de la realidad física sin tener acceso especial a reglas de tamaño irracional, puedes dibujar un cuadrado con lados [matemática] 1 [/ matemática] y mida su diagonal.

Larga historia corta: la irracionalidad de algunos números no es suficiente para prohibirnos dibujar figuras que los encarnen, porque muchas veces estas constantes están relacionadas con números racionales de una manera simple.

Answer 7

No existe un círculo perfecto en la vida real. Ergo, nadie puede dibujar un círculo perfecto en la vida real. Los círculos perfectos existen solo en nuestra imaginación.

Esto no tiene nada que ver con la irracionalidad de [math] \ pi [/ math]. Después de todo, tampoco existe un cuadrado perfecto, excepto, de nuevo, en nuestra imaginación, y los cuadrados perfectos no requieren conocimiento (o de otro modo) del valor de [math] \ pi [/ math] para ser dibujado.

Answer 8

Es perfectamente posible

Creo que te refieres a un círculo con circunferencia de longitud un valor entero. No es imposible de hacer.

Circunferencia [matemáticas] = 2 * \ pi * r [/ matemáticas]

Simplemente tome cualquier valor de r tal que [math] r = n / \ pi [/ math]. Donde [math] n [/ math] es un número natural.

Sería un valor entero perfecto.

Oh sí, la bonificación es que obtendrás un número par. En caso de que quieras un semicírculo perfecto.

Answer 9

Depende de qué quieres decir con un círculo perfecto.

Si te refieres a un círculo con todas sus propiedades conocidas (es decir, área, circunferencia y diámetro), entonces no podemos hacer un círculo perfecto.

Pero si te refieres a una figura que es un círculo, entonces sí , podemos hacer un círculo perfecto. Lo único aquí será que solo podemos especificar una de sus cantidades con precisión, mientras que las demás serán aproximadas.

Si elegimos el radio, la circunferencia y el área serían aproximados y si elegimos la circunferencia con precisión, el radio sería aproximado.

Espero que esto responda tu pregunta. 🙂

Answer 10

Hubo una vez algunas figuras perfectas que eran perfectas por definición, como el medidor estándar en París:

El último medidor estándar original

Sin embargo, aparte de hacer las cosas perfectas por definición, no hay figuras perfectas. La brecha entre la perfección de los objetos matemáticos mentales y los objetos materiales imperfectos ha proporcionado una gran cantidad de alimento para la contemplación durante milenios La historia de las matemáticas.

Answer 11

Filosóficamente, el problema con esta pregunta no es círculo ni pi. El problema con la pregunta es la palabra “perfecto”. Perfecto significa “sin defecto” en este contexto.

Los humanos pueden imaginar este concepto, pero nunca pueden implementarlo. Tampoco la naturaleza. Las matemáticas funcionan desde el punto de vista de esta “perfección”.

Esta “imperfección del mundo real” es la razón por la que no podemos dibujar un círculo perfecto. No tiene nada que ver con la irracionalidad.

Answer 12

Aunque muchos han dado muy buenas respuestas, quiero agregar esto:

En ciencia, los términos matemáticos y filosóficos generalmente NO significan lo que significan en “discurso común” .

Es por eso que primero debe comprender qué significa un término en un campo en particular (por ejemplo, la misma palabra “campo” significa algo diferente en matemáticas, física o agricultura).

En este caso, “irracional” en el habla común significa loco o ilógico. En matemáticas significa que un número no puede representarse como una fracción de dos números enteros.

Answer 13

El papel, el bolígrafo, el papel y toda otra materia está hecha de átomos y otras partículas discretas (¡u ondas!). Como tal, no hay un medio continuo para dibujar, y no hay tinta que pueda dibujar una línea o curva perfectamente continua. Por lo tanto, nunca puede dibujar un cuadrado, círculo, línea o curva perfectos.

Algunos científicos piensan que el espacio en sí mismo puede no ser continuo. Longitud de Planck – Wikipedia

Además, el espacio no es plano, es curvo. Es dudoso que haya una sección “plana” en cualquier parte del universo donde puedas dibujar un Círculo Euclidiano. Relatividad general – Wikipedia Un círculo es euclidiano, el espacio no. ¿Dónde dibujas el círculo?

Answer 14

Ningún pastel es la distancia, todas las distancias dibujadas son infinitamente definibles, así como el pastel es infinitamente definible. Pero la definición de la curvatura de un círculo o la rectitud de una línea hace que sea casi humanamente imposible dibujar perfectamente cualquier forma, pero esta defensa no depende del valor irracional de pi

Answer 15

Los cricles perfectos no existen en el mundo físico. Amplíe un círculo dibujado, un círculo pixelado en un monitor o un disco mecanizado, y verá un garabato áspero y desgarbado.

Los círculos perfectos solo existen en fórmulas matemáticas.

Answer 16

Puede haber un círculo perfecto.

Ese círculo puede ser geométricamente correcto.

Habrá un valor definido de su diámetro.

Habrá una cierta proporción del perímetro del círculo y su diámetro.

Lo que no sabemos es la medición precisa de la relación.

Pi es una relación definida, es difícil de medir.

Answer 17

No, pero sería correcto decir que nunca podemos dibujar un círculo perfecto porque cualquier sustancia con la que puedas dibujarlo es granulada e imperfecta.

No hay nada que impida que un objeto físico tenga una longitud “irracional” o cualquier otra dimensión física.

Answer 18

No es más válido decir que nunca podemos dibujar un círculo perfecto porque pi es irracional que decir que las aves pueden volar porque el cielo es azul.

Si bien ambas partes de la afirmación son verdaderas, “porque” implica una relación causal que, en este caso, no existe.

Un círculo es un ideal geométrico y no tiene realidad física. Podemos hacer aproximaciones razonables pero no pueden ser “perfectas”.

Answer 19

No, esa no es la razón. Un círculo es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto (en ese plano) es igual a un valor fijo. Sin embargo, un punto en sí no tiene dimensiones y, como tal, nunca se puede dibujar en la realidad, ya que no se puede ver porque no tiene ancho.

Answer 20

¿Puedes dibujar un cuadrado perfecto? ¿Qué hay de irracional allí? 🙂