A menudo se escucha a los matemáticos hablar sobre la “belleza” en las pruebas o ecuaciones. ¿Alguien puede dar un ejemplo, entendible por un matemático no doctorado?

Answer 1

Permítanme tratar de dar algunas pruebas muy fáciles e interesantes que pueden ser entendidas por cualquiera.

Comencemos con uno de los clásicos:

Teorema (Euclides): hay infinitos números primos.

Prueba.

Deje que [math] p_1, \ cdots, p_n [/ math] sea cualquier lista finita de primos. Entonces [math] P = p_1 \ cdots p_n + 1 [/ math] no es divisible por ninguno de los primos en nuestra lista. Por lo tanto, es un primo o es divisible por otro primo que no está en la lista. Por lo tanto, no se puede construir una lista finita que contenga todos los números primos. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

En este caso, la prueba es hermosa porque en ese momento, solo se conocía una propiedad de los números primos, y no parecía prometedor para un problema como este. Sin embargo, esta prueba utiliza esa única propiedad de una manera extremadamente inteligente para probar cuál es una de las afirmaciones más fundamentales en la teoría de números.

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Veamos uno de los problemas hermosos más elementales en combinatoria.

Teorema (Amistad): entre cualquier grupo de seis personas, hay un subgrupo de al menos tres personas que se conocen entre sí, o hay un subgrupo de al menos tres personas, ninguna de las cuales se conoce, o ambas.

Prueba.

Deje que las seis personas sean puntos ( vértices ) en el plano. Si dos personas se conocen, hay una línea azul ( borde ) entre ellas; de lo contrario, hay una línea roja (borde) entre ellos. Por lo tanto, debemos demostrar que en cualquier gráfico de este tipo , existe al menos un triángulo con todos los lados del mismo color (rojo o azul). Considere cualquier vértice [matemática] V [/ matemática]. Hay [matemática] 5 [/ matemática] bordes de [matemática] V [/ matemática]. Tres de estos bordes deben ser del mismo color, digamos rojo. Deje que estos tres bordes terminen en [matemática] A, B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] respectivamente. Si los bordes [matemática] AB, AC, [/ matemática] y [matemática] BC [/ matemática] son ​​todos azules, entonces hemos encontrado un triángulo azul, de lo contrario, si uno de estos es rojo, diga [matemática] AB [ / math], entonces hemos encontrado un triángulo rojo [math] VAB. \ blacksquare [/ math]

La belleza de esta prueba radica en el hecho de que tenemos un escenario totalmente concreto y un problema en el que la solución fea es simplemente verificar todas las posibilidades. Sin embargo, al resumir el problema e incluso generalizarlo, no solo hemos descubierto una solución fácil sino también intuitiva. Además, este problema es la inspiración de la rama de las matemáticas que ahora llamamos teoría de Ramsey.

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Estos son solo dos teoremas, pero estos son algunos de mis favoritos que aún no se han cubierto aquí en este hilo.

Las pruebas matemáticas más bellas combinan intuición, elegancia y el leve indicio de astucia maliciosa que, en conjunto, asombra a quienes pueden verlas. Pueden manejar duro y largo en un aspecto inesperado del problema, o pueden tomar una vista de águila y combinar varias áreas de las matemáticas para su propósito. En cualquier caso, son lo que nosotros como matemáticos vivimos. En cierto modo, somos artistas del mismo tipo que pintores y músicos, y una buena prueba nos sorprende de la misma manera que una hermosa canción o pintura.

Answer 2

Suscribo la idea presentada por Alexander Farrugia: considero que las pruebas sin palabras son bastante hermosas, con un asterisco.

Aunque no es un matemático profesional, entiendo que, por increíble que sea un instrumento óptico increíble para un ojo humano, es demasiado fácil de engañar. Mi lema a este respecto es:

la óptica siempre es cuestionable

Dicho esto y siendo escéptico, me encanta crear mis propias pruebas pictóricas: hay algo que decir sobre la conexión del hueso de la mano con el hueso del cerebro.

Desde el punto de vista de la artesanía, creo que es seguro afirmar que para juntar tal prueba sin palabras, uno debe presentar un nivel razonable de conocimiento del tema. En términos negativos: sin la comprensión profunda de un concepto en cuestión, prácticamente no hay posibilidad de generar una demostración digna y convincente.

Ejemplo. El teorema del triángulo ortico : las alturas [matemáticas] AF_1 [/ matemáticas] , [matemáticas] BF_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] CF_3 [/ matemáticas] en un agudo arbitrario [matemáticas] \ triángulo ABC [/ matemáticas] son las bisectrices de los ángulos interiores de su órtesis [matemática] \ triángulo F_1F_2F_3 [/ matemática]

Una prueba de uno, dos, tres golpes:

uno:

dos:

Tres:

Esta demostración se basa en un tango delicado de la Proposición 21 del Libro 3 (en un círculo los ángulos en el mismo segmento son iguales) con la Proposición 31 del Libro 3 (en un círculo, el ángulo en el semicírculo es correcto, también conocido como el Teorema de Thale).

Comience con el lado [math] CA [/ math] de la primera construcción y considere los dos triángulos rectángulos resaltados formados por las alturas correspondientes: comparten la misma hipotenusa. Por B3P31 los puntos [matemática] A, C, F_1, F_3 [/ matemática] son ​​cocirculares, lo que significa que los ángulos resaltados que sostienen el mismo arco [matemática] CF_1 [/ matemática] son ​​iguales, por B3P21 .

Moviéndonos por los lados restantes del triángulo padre y seleccionando los arcos apropiados de la manera anterior, demostramos / demostramos, con este triplete particular de dibujos, que el teorema es válido para el vértice [matemáticas] F_3 [/ matemáticas]:

[matemática] \ angle F_2F_3C = \ angle CF_3F_1 \ tag * {} [/ math]

Y al (re) usar los mismos triángulos pero al elegir diferentes arcos, mostramos que el teorema se cumple para los vértices restantes. ¿Cómo puede esto no ser corto y dulce?

Por otro lado, las pruebas analíticas inteligentes que no son una de las que son exámenes largos, aburridos y de fuerza bruta de todos los casos posibles en los que solo hay que sacarlo son igual de satisfactorios.

Tome una prueba de que una serie armónica diverge. La prueba de convergencia del término [math] n [/ math] es silenciosa ya que el límite del término [math] n [/ math] como [math] n [/ math] crece sin un límite superior es cero. qué hacemos?

Resulta que podemos mostrar que las sumas parciales de una serie armónica pueden hacerse arbitrariamente grandes. ¿Cómo? Al reemplazar los buenos ciudadanos “armónicos” con los poderes inversos de dos:

[matemáticas] 1+ \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {4}> 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4 } + \ dfrac {1} {4} = 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {2} \ tag {1} [/ math]

Claramente:

[matemáticas] \ dfrac {1} {3}> \ dfrac {1} {4} \ tag * {} [/ matemáticas]

Promover, adicional:

[matemáticas] 1+ \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {5} + \ dfrac {1} {6} + \ dfrac {1} {7} + \ dfrac {1} {8}> \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {8} + \ dfrac {1} {8} + \ dfrac {1} {8} + \ dfrac {1} {8} \ tag {2} [/ math]

lo que equivale a agregar [math] \ dfrac {1} {2} [/ math] a la suma parcial anterior en ( 1 ).

Pero por qué parar ahora. Tome los siguientes términos armónicos hasta e incluyendo [math] \ dfrac {1} {16} [/ math], reemplace estos términos con el número correspondiente de [math] \ dfrac {1} {16} [/ math] sy demuéstrate a ti mismo que, nuevamente, agregarás [math] \ dfrac {1} {2} [/ math] a la suma parcial en ( 2 ).

El efecto neto de este simple ejercicio muestra que, sin embargo (dolorosamente) lentamente, aún así, las sumas armónicas parciales crecen sin un límite superior: al masticar suficientes términos armónicos siempre podemos agregar al menos la mitad de la suma y al agregar todas esas mitades arriba podemos hacer la suma parcial tan grande como queramos, demostrando que la serie en su conjunto diverge.

El razonamiento anterior debería mostrar que si consideramos el último término armónico que es una potencia exacta de dos, [math] \ dfrac {1} {2 ^ n} [/ math], entonces la suma correspondiente siempre es estrictamente mayor que [math ] 1 [/ matemáticas] más [matemáticas] n [/ matemáticas] una mitad.

Entonces, si queremos que nuestra suma sea mayor que, digamos, [matemáticas] 50 [/ matemáticas], entonces:

[matemáticas] 1 + \ dfrac {n} {2} = 50, \; n = 98 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

y necesitamos tomar [math] 2 ^ {98} [/ math] (o aproximadamente [math] 4 \ cdot 10 ^ {29} [/ math]) términos armónicos para que eso ocurra.

Answer 3

Dicen que la belleza está en el ojo del espectador. Me parece que esto también es cierto para la belleza matemática.

Lo que quiero decir es que a veces encuentro una prueba de que, para mí, es hermosa, mientras que otras son indiferentes, y viceversa.

Por ejemplo, particularmente me gustan las ‘pruebas de imagen’. Una prueba de imagen es una prueba de un resultado representado, no por palabras o ecuaciones, sino por una imagen. Dicen que una imagen vale más que mil palabras y, una vez más, también me parece cierto para las pruebas matemáticas.

Aquí hay un ejemplo de tal prueba de imagen. La prueba es afirmar, informalmente, que hay “tantos” números reales entre dos números cualquiera [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] ya que hay números reales.

(Para aquellos que no ‘entienden’, la línea en la parte inferior representa la línea de número real infinitamente larga. Dibuje una línea desde cualquier punto de esta línea que pase por el centro del círculo. Donde esta línea se encuentre con el semicírculo superior , dibuje una línea vertical que coincida con el segmento de línea en la parte superior, que representa cualquier intervalo arbitrario desde [matemática] a [/ matemática] a [matemática] b [/ matemática]. De esta manera, cualquier número real se asigna a un número real único en el intervalo [matemática]] a, b [[/ matemática] y viceversa).

La simplicidad y elegancia de esta prueba me parece absolutamente hermosa. Pero algunos otros matemáticos compañeros solo dicen ‘uh, eso es genial, supongo’. Quizás estás en la primera categoría de personas, o en la segunda. No hay vergüenza en estar en una categoría o en la otra; Después de todo, la belleza matemática es tan subjetiva como cualquier otra forma de arte.

(Imagen cortesía de la Biblioteca de Fermat).

Answer 4

Yo diría que algo en matemáticas es “hermoso” por una de tres razones:

1. Una idea muy simple tiene consecuencias muy poderosas.

1. Ejemplo simple: la mayoría de las pruebas por imagen dadas en otros ejemplos (por ejemplo, la fórmula de la suma de números impares).
2. Ejemplo medio: grupos . La simetría es increíblemente poderosa, y mirar “el conjunto de simetrías de una cosa” como una forma de estudiar la cosa en sí es una idea muy interesante con una gran cantidad de consecuencias.
3. Ejemplo avanzado: teorema integral de Cauchy . Una declaración breve y elegante sobre los números complejos (esencialmente, “en los números complejos, si das vueltas en un círculo en una función agradable, siempre terminas donde empezaste”) que permite muchas técnicas de cálculo excelentes y otros teoremas.

Dos áreas de matemáticas aparentemente desconectadas están fundamentalmente unidas.

1. Ejemplo simple [este es menos simple que el resto, porque buenos ejemplos de esto son difíciles, pero este debería ser comprensible solo con las matemáticas de la escuela secundaria después de buscar en Google lo que son y leer sobre ellos]: Generar funciones . Para un ejemplo específico, considere la fórmula de Euler para contar particiones. ¿Qué tienen que ver los polinomios con contar la cantidad de formas de apilar cuadrados en una esquina? Bueno, los pasos que das para llegar allí son interesantes, y uno podría llamarlo hermoso. (Esto podría decirse que también es un ejemplo del primer caso).
2. Ejemplo medio: álgebra lineal que aparece en todas partes . Si, en todas partes. No es algo que te das cuenta cuando aprendes el tema por primera vez, pero una vez que llegas a niveles más altos te das cuenta de que los espacios vectoriales están en todas partes.
3. Ejemplo avanzado: teoría de Galois , en general. Combina “simetrías” [grupos] y “números” [campos] y termina con declaraciones sobre polinomios, y de una manera interesante. Eso es poderoso

Algo que parece “debería” ser cierto, es cierto.

1. Ejemplo simple: Factorización prima : cada número entero se puede factorizar de forma única en números primos positivos. Esto no es cierto para todo lo que generalmente “se parece” a los enteros (es decir, no es cierto para cada anillo), pero el hecho de que sea cierto para los enteros, y no hay alguna excepción técnica, es bueno .
2. Ejemplo medio: continuación analítica : si tiene una función definida en alguna parte (subconjunto abierto) del plano complejo de una manera “agradable”, hay una forma única de extenderla que sigue siendo “agradable” [holomórfica]. Esto es algo que “parece que debería ser” cierto, de modo que si conoce una función en algún lugar, solo puede extenderla de una manera, pero generalmente no es cierto, y el hecho de que sea cierto para las funciones analíticas es otra instancia de ” debería “ser” es “.
3. Ejemplo avanzado: Teorema de Stokes (la versión completa de formas diferenciales). Este es el teorema fundamental del cálculo en su forma más completa y poderosa.

Estos ejemplos pueden o no darle una buena idea de lo que es hermoso (los que enumeré no son universalmente los que creo que son más hermosos), pero espero que al menos le den una idea de por qué algo podría llamarse hermoso.

Answer 5

Déjame darme un ejemplo de una prueba que considero hermosa.

Problema : ¿Hay algún número de la forma: [matemáticas] p ^ p [/ matemáticas] donde p es un número irracional que es racional.

Solución: ( utilizaremos el hecho de que [matemáticas] \ sqrt {2} \: [/ matemáticas] es irracional, un hecho que también tiene una prueba hermosa y simple)

Consideremos el número [math] \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2}. [/ Math]

Si es racional, hemos terminado.

Si es irracional, consideramos el número [math] (\ sqrt {2} ^ \ sqrt {2}) ^ \ sqrt {2}. [/ Math] Observe que tiene la forma [math] p ^ p. [/matemáticas]

Usando un poco de álgebra simple tenemos que:

[matemáticas] (\ sqrt {2} ^ \ sqrt {2}) ^ \ sqrt {2} = \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ 2} = \ sqrt {2} ^ 2 = 2 \: [/ math] que es un número racional.

En conclusión, tal número existe.

Por qué considero hermosa esta prueba:

1. Utilizamos el hecho de que para probar un problema “existencial” solo tenemos que dar un ejemplo.
2. No tuvimos que probar si [math] \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} [/ math] es racional o no, lo cual es difícil.
3. Utilizamos axiomas simples y algo de álgebra básica.

Cosa de la belleza, mi amigo!

Answer 6

Nunca he oído hablar de “ecuaciones hermosas” (excluyendo bromas y trucos didácticos, por supuesto). En cuanto a “pruebas hermosas”, diría que es bastante subjetivo y específico del área. En la mayoría de los casos, una prueba “hermosa” (o, a veces, “elegante”) es bastante corta, perspicaz y contiene algo interesante y útil.

Usaría los teoremas de pruebas de integridad de Henkin al estilo de las lógicas proposicionales valoradas finitamente como un ejemplo de pruebas hermosas. Tenga paciencia conmigo, es un poco largo y requiere un conocimiento mínimo en lógica.

Tenemos algún cálculo con relación de inferencia [matemáticas] ⊢ [/ matemáticas] y queremos mostrar que está completo con respecto a alguna relación semántica [matemáticas] ⊨ [/ matemáticas] (“sigue”).

Entonces, supongamos que tenemos algún conjunto de fórmulas [matemáticas] Γ [/ matemáticas], de modo que hay algunas fórmulas que no están incluidas, que [matemáticas] ϕ∈Γ⇔Γ⊢ϕ [/ matemáticas] y que si [ matemática] ϕ∨χ∈Γ [/ matemática], luego [matemática] ϕ∈Γ [/ matemática] o [matemática] ¬ϕ, χ∈Γ [/ matemática]. Tal conjunto se llama teoría prima no trivial (nTPT). Ahora necesitamos una cosa llamada “evaluación canónica”. Básicamente es una función que asigna valores de verdad a fórmulas dependiendo de si están en nuestro nTPT. Para esta asignación de verdad, tenemos que demostrar que en realidad es un isomorfismo en el sentido de que se maneja correctamente con nuestros conectivos (por ejemplo, la evaluación de una fórmula negativa es la negación del valor de la fórmula bajo negación, etc.). Después de esto, mostramos que si las variables proposicionales pueden ser evaluadas por una evaluación arbitraria igual que por una canónica, entonces esto también es válido para todas las fórmulas. Entonces debemos demostrar que si alguna fórmula [matemática] ϕ [/ matemática] no se sigue de [matemática] Γ [/ matemática], entonces esta [matemática] Γ [/ matemática] puede extenderse a tal nTPT que aún ganó no implica [matemáticas] ϕ [/ matemáticas]. A partir de aquí, se sigue fácilmente la contraposición de nuestro resultado de integridad ([matemáticas] Γ⊬ϕ⇒Γ⊭ϕ [/ matemáticas]).

¿Por qué es hermoso? Debido a que este método en realidad nos permite construir cálculos de deducción natural para una semántica dada demostrando su integridad “automáticamente”. En otras palabras, el método de Henkin es solo una forma simple de construir cálculos naturales no clásicos.

Para un ejemplo de dicha prueba google para “DEDUCCIÓN NATURAL PARA CUATRO VALORES AMBAS LÓGICAS REGULARES Y MONOTÓNICAS”. Es un documento bastante corto que es realmente fácil de entender.

Después de todo, no tengo doctorado. y entiendo mi ejemplo, entonces mi respuesta debe calificar.

Answer 7

Hay una serie de pruebas clásicas que se consideran elegantes y hermosas, que se basan solo en ideas geométricas o algebraicas simples. Aquí están algunos. 10 hermosas pruebas matemáticas visuales: elegancia y simplicidad

La construcción que muestra que el número de primos es infinito es particularmente agradable. El concepto de prueba por contradicción (usado para demostrar que algunas raíces son irracionales) es otro.

Georg Cantor usó algunas ideas muy simples para mostrar que los infinitos vienen en diferentes tamaños.

Aquí hay más. Belleza matemática – Wikipedia

Answer 8

Imagina tu edificio favorito y es la arquitectura. Cada viga, cada puntal, pieza de refuerzo, madera, piedra y vidrio, se unen para crear estructuras que se parecen más a una obra de arte que a una oficina de negocios.

Imagine ese edificio donde, si fuera a quitar incluso un puntal, se derrumbaría. Me imagino que para ser la belleza de las matemáticas y las pruebas, crear una estructura unida con tanta elegancia que no se derrumbe mientras que la precisión del detial, como las tallas en la pared, no están a un centímetro de distancia.

Answer 9

La suma de los enteros de 1 a n es: n (n + 1) / 2

Combinatrix (como 5C3) se puede calcular usando el Triángulo de Pascal

Los números de Stirling del segundo tipo se pueden usar para calcular los coeficientes de un polinomio que se ajusta a cualquier conjunto de números

Answer 10

Aquí hay una prueba que creo que es realmente genial.

Primero:

Número irracional: un número que no se puede escribir como una fracción o relación.

[math] \ sqrt {2} [/ math] es un número irracional (otra buena prueba, pero creo que es un poco más difícil que esta prueba)

Entonces la pregunta es: ¿podemos elevar un número irracional a un poder irracional y obtener un número racional?

Si [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} [/ math] es racional, entonces ya hemos terminado, porque [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional. Si es irracional:

[matemáticas] (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}) ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Podemos multiplicar los exponentes:

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}) ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] es racional porque asumimos que [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2 }} [/ math] fue irracional y sabemos que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional, y todo es solo 2.

Answer 11

Me gusta la prueba de que la distribución normal se integra a 1.
Primer paso en la prueba: hazlo más complicado.
Segundo paso: usa la inspiración zen para transformarte en coordenadas polares.

http://norstad.org/finance/normd …