Cuando un matemático escribe teorías abstractas o resuelve problemas con muchas funciones y fórmulas, ¿comprende cada paso o simplemente sigue pasos lógicos?

Answer 1

Esto varía de persona a persona, día a día, problema a problema.

En mi investigación, generalmente me guío por la intuición y los ejemplos. Tengo la sensación de cómo deberían ir las cosas, y eso proviene de una mezcla de experiencia y sensibilidad estética. Esbozaré los términos que tendré que definir, los principales teoremas que tendré que probar y los lemas y las proposiciones que espero probar en el camino. También puedo indicar ejemplos clave y comentarios notables.

Para una primera aproximación, el resultado es un trabajo matemático con todas las pruebas y toda la exposición omitida o esbozada. A menudo, ayuda establecer aproximadamente un teorema antes de comprometerse con definiciones particulares de los objetos en la declaración del teorema.

A medida que desarrollo mis ideas, las valido periódicamente

1. comprobando los ejemplos que conozco y
2. demostrando resultados parciales en el camino.

Probar cada paso en el camino generalmente ralentiza las cosas hasta el punto de que no es divertido. También puede perderse en los árboles, olvidando todo sobre el bosque.

Esto es muy análogo a lo que siento al comenzar un nuevo proyecto de software de mediano a grande. Cualquier persona con la que haya trabajado en software le dirá que soy un gran defensor de la documentación, los comentarios y las pruebas. Pero esas cosas rara vez entran en el primer borrador, al menos al principio. Prefiero esbozar las firmas e interfaces de funciones, estableciendo el código de andamiaje que organiza el proyecto en general. Luego puedo leer el resultado como un esquema y reorganizarlo hasta que me guste lo que tengo. (Para ser claros, al menos cuando estoy en el trabajo, ¡agregaré pruebas antes de enviar mi código a un repositorio compartido!)

Hay un punto que debo enfatizar aquí: el enfoque descrito anteriormente, tanto para matemáticas como para ingeniería de software, ¡solo funciona si eres sólido con lo básico! Si omite la prueba de un lema, es útil estar razonablemente seguro de que uno de los siguientes es cierto:

1. El lema es cierto, y puedes probarlo sin demasiados problemas.
2. El lema es verdadero “en espíritu”, pero no literalmente. Tendrá que cambiar algunas hipótesis, posiblemente refactorizando su lógica un poco, pero no invalidará su enfoque general.

Y análogamente en ingeniería, con “lema” reemplazado por “función” o “clase” o “módulo”, y “probar” reemplazado por “implemento”. Esto no funcionará el 100% del tiempo (ver, por ejemplo, la prueba original de Andrew Wiles del último teorema de Fermat / la conjetura de Tanimaya-Shimura-Weil), pero probablemente debería funcionar el 90% del tiempo.

Answer 2

El trabajo de un matemático no es “resolver problemas con muchas funciones y fórmulas”, esto podría ser una tarea de ingeniería (que a veces puede ser realizada por un matemático, pero esto realmente no importa). El trabajo de un matemático que realiza investigación matemática (no solo abstracto, sino también aplicado) es desarrollar teorías, métodos y algoritmos que puedan usarse para resolver problemas concretos, o para avanzar en el conocimiento (y esto también podría usarse en el futuro para resolver problemas concretos).

Este trabajo, por supuesto, requiere conocer en detalle cada paso de su prueba, o de los algoritmos utilizados, pero un “paso” no es necesariamente un paso elemental, el mismo que utiliza para probar un resultado. Por ejemplo, para probar la fórmula de solución para la ecuación cuadrática, puede emplear la técnica llamada “completar el cuadrado”, pero puede aplicar la fórmula simplemente sabiéndolo. O para resolver un sistema no lineal en dos variables, puede usar la resultante de las dos ecuaciones para reducir a univariante, pero puede usar una herramienta que calcule esta resultante. O para resolver un sistema de ecuaciones en muchas variables, puede usar bases de Gröbner, sin conocer los detalles de la implementación del paquete que usa, o incluso qué es una base de Gröbner. O para probar un teorema, puede usar el gran teorema de Fermat sabiendo que existe una prueba, basada en la aceptación de un documento que reclama esta prueba, papel que se reconoce como correcto. Debe comprender con precisión lo que dice el teorema, pero no todos los detalles de la prueba y recursivamente todos los detalles de las pruebas de cada enunciado utilizado en cada paso de la prueba.

No sé si llama a esto “entender cada paso” o “seguir pasos lógicos”, podría ser ambos o ninguno (para mí no lo es) pero no es una pregunta matemática, solo una pregunta filosófica. Estoy interesado en la filosofía, pero no en este tipo de problemas, estoy más interesado en hacer matemáticas, que es mucho más divertido, y espero haber transmitido algo de su sabor.

Answer 3

¿Consecuentemente? Ninguno.

A veces algo salta a la mente, y tienes que buscar los pasos. A veces juegan. A veces intentan algunos pasos lógicos. Depende de las matemáticas, etc.