¿Cuál es la derivada parcial de [matemáticas] f (x, y, z) = \ sqrt [] {(x ‘) ^ 2 + (y’) ^ 2 + (z ‘) ^ 2} [/ matemáticas] con respecto a x, y y z?

Answer 1

El contexto parece ser la mecánica clásica (lagrangiana).

El overdot es solo una forma abreviada de diferenciación con respecto al tiempo. Es decir, [math] \ dot {x} \ equiv dx / dt [/ math], por ejemplo.

Más importante aún, lo que está diferenciando es la acción. En la física lagrangiana, la acción se trata como una función tanto de las coordenadas generalizadas como de sus derivadas del tiempo (velocidades), tratadas como variables independientes.

Entonces tiene una función [matemática] f [/ matemática] que es una función de las velocidades [matemática] \ dot {x} [/ matemática], [matemática] \ dot {y} [/ matemática] y [matemática] \ dot {z} [/ math], solo, y no depende explícitamente de las coordenadas [math] x [/ math], [math] y [/ math], [math] z [/ math]. Por lo tanto, la derivada parcial de [math] f [/ math] con respecto a cualquiera de las coordenadas es idénticamente cero.

La ecuación de Euler-Lagrange correspondiente a un lagrangiano arbitrario (en este ejemplo, denotado por [matemática] f [/ matemática]) es [matemática] \ parcial f / \ parcial x ^ i – (d / dt) (\ parcial f / \ partial \ dot {x} ^ i) = 0 [/ math], donde [math] x ^ i = \ {x, y, z \} [/ math] son ​​las coordenadas. Porque [matemática] f [/ matemática] no depende de las coordenadas, es decir, [matemática] \ parcial f / \ parcial x ^ i \ equiv 0 [/ matemática], la ecuación. (4) restos.

Answer 2

Tal vez se haya perdido el significado de [math] \ dot {x}, \ dots [/ math] en la expresión del paso [math] 3 [/ math]. Aquí se supone sin pérdida de generalidad que [math] x ‘\ equiv \ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} \ equiv \ dot {x} [/ math]. Paso [matemáticas] 3 [/ matemáticas] no parece decir nada original?