Dado que sería un invento innovador, ¿cómo trabajaría si fuera un matemático temprano construyendo cálculos?

Answer 1

Creo que los matemáticos siguieron el único camino posible.

Primero necesita desarrollar una forma de hablar sobre variables y manipular fórmulas. Luego puede ver esas fórmulas como objetos por sí mismas y llamarlas funciones, y ver que pueden modelar transformaciones numéricas, curvas, etc.

Al mismo tiempo que descubres que tienes un poder de 4, 5, etc., porque hasta entonces estabas vinculado a cuadrados y cubos. Entonces no es mucho tiempo que trabajas con polinomios. Poco tiempo después, considera las series y las utiliza como funciones concretas. En ese momento, está tentado a creer que cada función no solo es continua y derivable, sino también una serie, si no un polinomio.

Mientras sus colegas descubren álgebra, usted investiga las funciones como gráficos y descubre derivados (que primero identifica con números infinitamente pequeños, antes de obtener una mejor vista como dependencias de variación). También construyes una gran colección de curvas (troncoides, cardioides, espirales, folio, …)

Al explorar este conjunto de curvas especiales, descubres un buen método para encontrar el mínimo y el máximo, y de repente te interesas en problemas de optimización como el camino más corto o el equilibrio de un cordón. Es decir, pones un pie en el cálculo de la variación. Y, en consecuencia, en ecuaciones diferenciales, que te llevan a inventar la integración.

Todo es lo mejor, hasta que alguien muestre que 0 = 1 usando series divergentes. Para resolver la paradoja, necesitas inventar convergencias. Posteriormente, alguien extenderá sus descubrimientos en espacios topológicos más generales, pero por ahora sucede algo extraño: para descubrir la buena definición de convergencia, debe trabajar con funciones complejas y no reales. En lugar de volverse complejas (juego de palabras), las cosas se vuelven más simples, porque (como sabemos hoy) las funciones complejas derivables son polinomios de grado infinito. Por lo tanto, puede justificar todo el trabajo anterior (considerando solo la parte real del universo complejo) y ver dónde están los problemas reales.

Tienes algunas integrales que realmente no son computables, las funciones elípticas. Al invertirlos, lo que significa que está en el nivel de abstracción apropiado para observar la función de la forma [matemática] f (x) = \ int ^ x [/ matemática] que varía con el límite de integración, descubre que no son más que funciones doblemente periódicas. De hecho, te enfrentas a dos modelos: pueden ser funciones definidas en un rectángulo copiado / pegado en los bordes hasta el infinito, o pueden ser loxódromos, es decir, la función sigue siendo la misma cuando se multiplica por un número [matemático] f ( \ lambda x) = f (x) [/ math], el otro ciclo está implícito cuando se da la vuelta al origen.

Por supuesto, en un siglo, algunos tomarán el exponencial complejo para explicarle que son lo mismo. Pero mientras tanto, otro chico estudiará las estructuras algebraicas de tus loxodromos y, naturalmente, los llamará Anillos. Y otro tipo mostrará que lo que hace que la maquinaria funcione es el hecho de que puedes tener un Anillo en cada punto de manera coherente, en palabras modernas: una gavilla. Y para dar una definición correcta, deberá inventar la topología, lo que hará tan pronto como note que está trabajando la mayor parte del tiempo en una superficie de Riemann, una noción que se ha relacionado recientemente con la geometría (después de que se haya reconoce que algunas geometrías no son no euclidianas).

Con esas funciones elípticas, el catálogo está completo. Más precisamente, cerrado: no puede descubrir nuevas funciones con álgebras, límites, integración, ecuaciones diferenciales … Se volverá por un tiempo en dimensiones más altas, pero las cosas pronto se vuelven muy complejas por nada fundamentalmente nuevo. Las cosas se ponen más interesantes en infinitas dimensiones, pero progresas lentamente: cada nueva idea toma alrededor de una vida humana.

También puede girar hacia un espacio extraño, como los números p-adic y otros espacios discontinuos. Resulta que realmente puedes hacerlo llamando diferencial a cualquier transformación lineal tal que [matemática] d (f \ cdot g) = f \ cdot d (g) + d (g) \ cdot f [/ math]. Y resulta que funciona: puede revisar la geometría algebraica en términos de esquemas, puede reescribir la mecánica clásica con un corchete de Poisson, puede rehacer el análisis de Fourrier con otros grupos de simetría que [math] 2 \ pi [/ math] – Traducciones

Finalmente, queda la impresión de que todo el edificio de cálculo está en álgebra de hechos en un contexto especial. Pero ten cuidado, alguien pronto demostrará que si no te cuidas, puedes probar que 0 = 1.

Lo que sabemos es un polvo en lo que no sabemos, al igual que [matemáticas] \ Q [/ matemáticas] es un polvo en [matemáticas] \ R [/ matemáticas], pero progresar en el conocimiento no es aleatorio, debe avanzar paso después del paso, sin saltear uno. Entonces, para responder a su pregunta, si tuviera que reinventar el cálculo, seguiría casi exactamente la misma manera que los matemáticos hicieron los últimos 3/4 siglos.

Answer 2

Personalmente, como soy más un tipo de física matemática, probablemente seguiría la ruta más física de Newton:

• Comience en términos de derivados del tiempo.
• Alguien más consideraría derivados más generales, mientras que, si bien apreciaría su trabajo cuando decidiera que lo necesitaba, probablemente continuaría trabajando con derivados de tiempo, a partir de los cuales las ecuaciones diferenciales serían casi automáticas.
• Los antiderivados serían un seguimiento obvio, y eventualmente alguien más haría la conexión con las integrales (dudo que lo haría antes que otros que estaban más interesados ​​en los problemas de “área”).
• Con suerte, haría la conexión con el cálculo multivariable en algún momento, cuando lo necesitara (por ejemplo, tratando de averiguar cómo funcionaban las ondas en la superficie del agua), a partir de lo cual la invención de PDE también sería bastante automática.

A partir de ahí, probablemente pasaría mucho tiempo y energía resolviendo EDO y PDE, y eso sería el resto de mi vida, ya que otros matemáticos lo toman en una dirección completamente diferente, aunque tal vez haría algún progreso en el vector cálculo, ya que podría estar interesado en el teorema de Stokes / divergencia.

La definición formal de un límite (sin infinitesimales) y demás probablemente vendría MUCHO más tarde, simplemente porque es un truco en el que no habría pensado, especialmente no como un físico que consideraba que mis matemáticas eran suficientes para lo que necesitaba hacer.

Tenga en cuenta que esto no quiere decir que desarrollaría esto si supiera de antemano lo que debe suceder, per se, como si, por ejemplo, un viajero en el tiempo me hubiera dado un programa de cálculo, pero no el material en sí. Esto no es lo que “debería” hacer, sino lo que haría, entre mis intereses y las conexiones que probablemente vería. Intenté, en esta explicación, enfatizar lo que obtendría alguien de mi ruta, y lo que seguramente extrañaría, si hubiera alguien más que pudiera descubrirlo antes que yo.