¿Por qué los matemáticos decidieron tratar las declaraciones vacías como verdaderas en lugar de falsas?

Answer 1

Si tengo un conjunto de objetos, llámelo [math] S [/ math], seguro que sería bueno si puedo hacer lógica con ellos.

Los dos calificadores lógicos principales son

[matemáticas] \ existe [/ matemáticas]: existe

[matemáticas] \ forall [/ matemáticas]: para todos

Como ejemplo, puedo decir lo siguiente sobre números naturales [matemáticas] \ N [/ matemáticas] “Cada número natural [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene un sucesor [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]”

Puedo expresar esto como lo siguiente

[math] \ forall n \ in \ N \ \ existe m \ in \ N \ [/ math] tal que [math] m = n + 1 [/ math]

Resulta que estos calificadores están conectados entre sí. Cuando digo que no existe un elemento [math] x \ en S [/ math] con la propiedad [math] P [/ math] es lo mismo que decir que todos los elementos de [math] S [/ math ] no tiene la propiedad [matemáticas] P [/ matemáticas]. De manera similar, cuando digo que todos los elementos de [math] S [/ math] tienen propiedad [math] P [/ math] es lo mismo que decir que no existe un elemento de [math] S [/ math] que no tiene propiedad [matemática] P [/ matemática].

Veamos una declaración que es vacía.

“Todos los unicornios son morados”

Como no hay ningún unicornio, no podemos decir particularmente de qué color son. Sin embargo, esta afirmación es cierta. Si fuera falso, entonces debe existir un unicornio que no sea púrpura.

El conjunto de unicornios está vacío, por lo que no existe ningún elemento con ninguna propiedad en particular. Es igual de cierto decir “Todos los unicornios son azules”. [Matemáticas] \ Leftrightarrow [/ matemáticas] “No existen ningún unicornios que no sean azules”.

Answer 2

Por lo tanto, podemos hacer reglas como “debes comer todas tus espinacas antes de salir a jugar” que se pueden obedecer incluso cuando no se sirven espinacas. De lo contrario, la regla tendría que ser más complicada, al igual que muchas otras reglas del tipo que aparecen con frecuencia en matemáticas y programación de computadoras.

“Muéstreles el archivo si tienen todos los permisos requeridos”

“Libera el gas halón cuando todos hayan salido de la habitación”

En estas situaciones, desea que la condición sea verdadera para el caso nulo.

La intersección de la nada es todo, mientras que la unión de la nada es nada.

Answer 3

Partiendo de la respuesta de Eric Platt a ¿Por qué los matemáticos decidieron tratar las declaraciones vacías como verdaderas en lugar de falsas ?, considere el condicional [matemáticas] p \ Rightarrow q [/ matemáticas].

Definimos la tabla de verdad para el condicional de la siguiente manera:

Repasemos cada uno de estos casos para explicar algo de la intuición detrás de ellos.

No creo que dudes del primero; es el caso del “libro de texto” de un verdadero condicional. El antecedente es verdadero, el consecuente es verdadero, entonces el condicional es verdadero.

El segundo es el caso del libro de texto de un falso condicional. A pesar de que el antecedente es verdadero, el consecuente es falso.

El tercero es algo más complicado. Pero si lo piensa, los condicionales siempre deberían ser ciertos si el consecuente es cierto. Como ejemplo, “Si comes tus verduras, obtendrás helado”. Ahora, mi helado podría estar completamente garantizado, porque lo robaré durante la noche. Si tuviera que comer mis verduras, de hecho me daría mi helado. Entonces, la predicción que hace la declaración es verdadera, y podemos considerar la verdad condicional.

Y el caso final es el difícil. Esta es la verdad vacía; “Si los cerdos vuelan, tú también puedes”. Bueno, no puedo volar. Tampoco los cerdos. Pero hay un concepto importante en la lógica: el contrapositivo . Podemos invertir tanto el antecedente como el consecuente y cambiarlos y mantener el mismo valor de verdad:

[math] (p \ Rightarrow q) \ Leftrightarrow (\ neg q \ Rightarrow \ neg p) [/ math] siempre debe mantenerse, independientemente de los valores de verdad de py q.

Ex. “Si comes vegetales, obtendrás helado” se convierte en “Si no obtienes helado, entonces no debes haber comido tus vegetales”.

Y así podemos transformar la afirmación en “Si no puedo volar, tampoco los cerdos”. Y dado que el nuevo antecedente y el consecuente son ambos verdaderos, el condicional transformado es verdadero, por lo que el condicional original debe ser verdadero.

Si tuviéramos que redefinir el valor de verdad de la entrada [math] F \ Rightarrow F [/ math], tendríamos que desechar esta noción de la contrapositiva (y la inferencia de modus tollens ) o hacer algunos cambios engorrosos.

Ahora que hemos establecido esa definición, podemos aplicarla a conjuntos.

Afirmar que el conjunto vacío tiene todas las propiedades es equivalente a reclamar

[math] p \ Rightarrow q [/ math] donde [math] p = \ textrm {x está en el conjunto vacío} [/ math] y [math] q = \ textrm {x cumple todas las propiedades} [/ math]. p es claramente falso, porque el conjunto vacío no tiene elementos. Según la tabla de verdad que establecimos, el condicional debe ser verdadero y, por lo tanto, el conjunto vacío tiene todas las propiedades.

Answer 4

Considera la declaración

[matemática] \ para toda x \ en X, \, [/ matemática] [matemática] P (x) \ Rightarrow Q (x) [/ matemática]

donde [math] P [/ math] es falso para cada x. Es decir, el conjunto

[matemáticas] x \ en X: P (x) \ equiv \ emptyset [/ matemáticas]

Entonces, como sabemos que cada Q tiene, sabemos que

[matemáticas] \ para todos x \ en X, \, P (x) \ Rightarrow \ not Q (x) [/ math]

lo que significa

[matemática] \ forall x \ en X, \, P (x) \ Rightarrow Q (x) \ & \ not Q (x) \ equiv \ emptyset [/ math]

Lo que significa que cualquier conjunto vacío solo proporciona una verdadera información: que el conjunto está vacío.

Answer 5

Daré un ejemplo simple para agregar a las otras respuestas.

Considere la proposición: “Si una bomba nuclear detonó sobre mi casa ayer mientras estaba en casa, entonces no estaría escribiendo esta respuesta en Quora”.

Ciertamente consideraría esto cierto, aunque el antecedente, “una bomba nuclear detonó sobre mi casa ayer mientras estaba en casa” es falso.

Por lo tanto, esta proposición es cierta, pero también se la llama vacuamente verdadera.