¿Hasta dónde puedes llegar en matemáticas, antes de que necesites permitir números inconfundibles?

Answer 1

Primero necesitas saber qué significa computable. La tesis de Church Turing es esencialmente la idea de que cualquier cosa computable se puede calcular usando la máquina Turing. Entonces, cuando uno dice que no es computable, eso significa que resultó imposible en una máquina de Turing. La máquina de Turing es esencialmente una cinta de doble cara sin fin equipada con una máquina de estados finitos que dice si debe desplazarse hacia la izquierda o hacia la derecha o leer o escribir en la cinta en ese punto.

Entonces debe saber que hay problemas para los que no se pueden escribir algoritmos. El famoso es el problema de la detención. Cómo verificar si una máquina de Turing se detendrá o no. Resulta que no se puede hacer, porque si existe uno, puede modificarlo para hacer una máquina de Turing que se inspeccione a sí misma que se alimenta como entrada y vaya al bucle infinito siempre que se suponga que diga “se detendrá”. Eso causa una contradicción de la misma manera que funciona el argumento diagonal del cantor. Pero se requiere mucho trabajo para hacer que esta prueba sea precisa.

Ahora se podría preguntar la probabilidad de que una máquina de Turing válida se detenga. Después de asignarle un sistema de medidas razonables y límites, esa pregunta se formula bien. Pero ahora resulta que tal número no puede calcularse, porque puede mostrar si lo hizo, podría resolver el problema de detención. De nuevo, no es una tarea fácil. Este número se llama constante de Chaitin.

Para cada número computable puede escribir un programa por definición. Pero todos los programas tienen código finito, lo que significa que hay un número asociado. Entonces los números computables son contables. Entonces, la mayoría de los números reales no son computables.

Pero para todas las aplicaciones prácticas no necesita números inconfundibles. Podrías reescribir la mayoría de las matemáticas útiles únicamente dentro del ámbito de la computabilidad. Excepto discusiones sobre lo que es computable. Un profesor llamado NJ Wildberger defiende precisamente eso. Él aboga por el uso de “tipos” en lugar de “conjuntos” para la formulación. Pero, francamente, tendría ambas ramas. Algunas cosas son más fáciles con números reales y magias hiper reales.

La constante de Chaitin – Wikipedia

Answer 2

Tome los números reales, [matemáticas] \ Bbb {R} [/ matemáticas]. Eso es lo suficientemente lejos. Todo lo que hagas con los reales (incluido el cálculo) implica tener que lidiar con números inconfundibles.

Cantor demostró que la cantidad de números reales es mucho mayor que la cantidad de enteros, mientras que también es bastante fácil demostrar que la mayoría de los subconjuntos de reales “interesantes” (enteros, racionales, construibles, algebraicos, computables, aritméticos, analíticos) son contable, lo que significa que un conjunto incontable de números no son enteros, irracionales, no construibles, trascendentales, no computables, no aritméticos o no analíticos.

Por cierto, todos los números computables son números aritméticos, pero no viceversa, así que ese es un ejemplo de números computables “más allá” para usted.

Answer 3

Hay muchas pruebas analíticas que se basan en el hecho de que [math] \ mathbb {Q} [/ math] es un subconjunto denso contable del conjunto incontable [math] \ mathbb {R} [/ math]. Por lo tanto, ciertamente no podría llegar muy lejos en el análisis, pero esto no es una sorpresa, ya que el análisis es fundamentalmente sobre conjuntos similares a [math] \ mathbb {R} [/ math].

Por otro lado, probablemente podría continuar para siempre en álgebra (abstracta) sin preocuparse por esto en absoluto.