Una compañía naviera necesita una caja en la que la longitud es (w + 3) y la altura es (w-2). Si el volumen debe ser de 1800 pulgadas cúbicas, ¿cuáles son las dimensiones?

Sabemos que el volumen de un prisma rectangular (también conocido como caja) viene dado por [math] V = lwh [/ math] con [math] l [/ math], [math] w [/ math] y [math] h [/ math], como la longitud, el ancho y la altura, respectivamente. Como sabemos que la longitud es [matemática] w + 3 [/ matemática], la altura es [matemática] w-2 [/ matemática], y el volumen del cuadro es [matemática] 1800 \ text {in} ^ 3 [/ math], podemos conectarlo para obtener [math] 1800 = w (w + 3) (w-2) [/ math]. Resolviendo para [matemáticas] w [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] 1800 = w (w + 3) (w-2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1800 = w ^ 3 + w ^ 2-6w [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 0 = w ^ 3 + w ^ 2-6w-1800 [/ matemáticas]

Puede usar el Teorema de los ceros racionales, que establece

Si P ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros y si es un cero de P ( x ) ( P ([matemáticas] \ frac {p} {q} [/ matemáticas]) = 0), entonces p es un factor de El término constante de P ( x ) yq es un factor del coeficiente principal de P ( x ).

Básicamente, puede encontrar todos los factores de la constante ([matemática] -1800 [/ matemática]) como [matemática] p [/ matemática] y el coeficiente principal ([matemática] 1 [/ matemática]) como [matemática] q [/ math] y si hay un cero racional, será de la forma [math] \ frac {p} {q} [/ math]. Al encontrar todas las combinaciones posibles de [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática], eventualmente encontrará que [matemática] w-12 [/ matemática] es una raíz del polinomio cúbico.

Así,

[matemáticas] 0 = w ^ 3 + w ^ 2-6w-1800 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 0 = (w-12) (w ^ 2 + 13w + 150) [/ matemáticas]

Finalmente podemos resolver la parte [matemática] (w-12) [/ matemática] de la ecuación para encontrar la raíz real del polinomio.

[matemáticas] 0 = w-12 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 12 = w [/ matemáticas].

Por lo tanto, el ancho es [math] 12 \ text {in.} [/ Math]

Finalmente, podemos conectar [math] 12 [/ math] para obtener las fórmulas para obtener el largo y el ancho

[matemáticas] l = 12 + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] l = 15 \ text {in.} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] h = 12-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] h = 10 \ text {in.} [/ matemáticas]

Si desea verificarlo, puede volver a insertar todos los números en la fórmula del volumen para verificar su respuesta.

[matemáticas] 1800 = 15 (12) (10) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1800 = 1800 \ marca de verificación [/ matemáticas]

Suponiendo que w representa el ancho, entonces el volumen es w * (w + 3) * (w-2), y eso, por supuesto, debe ser igual a 1800. Esta es una ecuación cúbica, que es algo tediosa de resolver, pero si suponemos que la solución es un número entero, es bastante rápido probar algunos que parecen estar en el parque de pelota y llegar a 12 como una solución exacta. 12 * 15 * 10 = 1800.