Dada la opción entre cualquier triángulo con dos longitudes de lado conocidas de [matemáticas] a = 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 5 [/ matemáticas] ¿cómo pruebo que el área máxima es un triángulo rectángulo?

Answer 1

Me he estado preguntando cómo responder a esta sin trigonometría. Probemos con la fórmula de Heron para el área de un triángulo con lados [matemática] a, b, c [/ matemática]:

[math] A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ math] donde [math] s = \ dfrac {a + b + c} {2} [/ math] se llama semiperímetro. Un poco de álgebra produce cualquier cantidad de fórmulas; Vayamos con la forma asimétrica, que parece coincidir con nuestro problema:

[matemáticas] \ matemáticas {A} = 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2− (c ^ 2 − a ^ 2 − b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Esta expresión se maximiza cuando el área se maximiza, así que usémosla. Obviamente, se maximiza cuando el término al cuadrado más a la derecha es cero, lo que da inmediatamente nuestro resultado. Pero trabajemos de manera regular.

Tenemos constantes [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b, [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] es la variable: la longitud del lado desconocido.

Pongamos la derivada a cero y veamos dónde aterrizamos:

[matemática] 0 = \ dfrac {d \ matemática {A}} {dc} = -2 (c ^ 2 − a ^ 2 − b ^ 2) (2c) [/ matemática]

Entonces [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

Comprobando la segunda derivada:

[matemática] \ dfrac {d ^ 2 \ matemática {A}} {dc ^ 2} = 4 (a ^ 2 + b ^ 2-3c ^ 2) [/ matemática]

En [math] c = 0 [/ math] esto es positivo, un CUP (cóncavo positivo) o un mínimo local. Entonces ignoramos esta raíz.

En [matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] esto es negativo, o un máximo local. Esa es nuestra respuesta, y muestra que [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] forman un triángulo rectángulo (porque lo contrario del Teorema de Pitágoras también es cierto).

Answer 2

¿Cómo pruebo esto: el área máxima de un triángulo (ver los detalles) es el triángulo rectángulo?
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¿Puede explicar esto? Un lado de un triángulo tiene una longitud de 8 y un segundo lado tiene una longitud de 5, entonces el área máxima del triángulo vendrá cuando los lados dados se colocan en ángulo recto.

Como esta parece ser una pregunta de tarea, te daré una muy buena pista, pero no la respuesta exacta.

Para cualquier triángulo donde se conocen dos lados, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], así como el ángulo entre ellos, [matemática] \ theta [/ matemática], el área del el triángulo se puede expresar como

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} ab \ sin \ theta [/ matemáticas].

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Answer 3

sí, el área máxima de un triángulo vendrá cuando los lados dados se coloquen en ángulo recto … la fórmula para encontrar el área del triángulo es A = (1/2) [correo electrónico protegido]

ahora supongamos que a = 8 yb = 5, y cuando lo ponemos en el triángulo rectángulo, entonces @ = 90 ‘y como sabemos sin90’ = 1 … entonces la respuesta será 20 (y es el máximo)

si no lo ponemos en el triángulo de ángulo recto, entonces el ángulo debe ser menor que 90 ‘y luego el valor del pecado será menor que 1 y la respuesta no será máxima entonces

Answer 4

área = base * altura / 2

altura máxima = lado perpendicular = ángulo entre ayb igual 90º

Base = 8 y altura máxima = 5

Con TrianCal

Answer 5

Deje que el lado de longitud 5 sea la base. Entonces la altura es 8 veces el seno del ángulo. Como el área es proporcional al producto de la base y la altura, será un máximo siempre que la altura sea máxima. Esto ocurre cuando el seno del ángulo es máximo; a 90 grados

Answer 6

A = BH / 2

B está definido pero H no está

Para maximizar A, maximizar H

Para maximizar H, un triángulo rectángulo es su única solución.